Kezdőlap


Feladat:	C.382	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bálint Olivér , Csibi Attila , Horváth Gábor , Horváth Tamás , Kiss Katalin , Kocsis Pál , Németh László , Pápai Tivadar , Pető Péter , Rill Ádám , Sarlós Ferenc , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna
Füzet:	1995/május, 274 - 275. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/január: C.382

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x_{1}$ és $x_{2}$ gyöke az egyenletnek, behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{1} x_{1} + x_{2} = 0, rendezve 2 x_{1}^{2} + x_{2} = 0, \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2} = 0. \end{matrix}

(2)

(2)-ből

x_{2}

-t emeljük ki:

\begin{matrix} x_{2} (x_{2} + x_{1} + 1) = 0, \end{matrix}

ahonnan vagy

x_{2} = 0

; akkor (1)-ből

x_{1} = 0

adódik, vagyis a másodfokú egyenlet

\begin{matrix} x^{2} = 0. \end{matrix}

Vagy

x_{2} = - x_{1} - 1

; ezt helyettesítsük (1)-be:

\begin{matrix} 2 x_{1}^{2} - x_{1} - 1 = 0. \end{matrix}

Az egyenlet gyökei 1 és

- \frac{1}{2}

.
Ha

x_{1} = 1

, akkor

x_{2} = - 2

és a másodfokú egyenlet

\begin{matrix} x^{2} + x - 2 = 0. \end{matrix}

x_{1} = - \frac{1}{2}

, akkor

x_{2} = - \frac{1}{2}

, és a másodfokú egyenlet

\begin{matrix} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0. \end{matrix}

Ennek ugyan gyöke a

- \frac{1}{2}

, de ‐ a feladat szövege szerint ‐ kétszeres gyöknek kellene lennie, és nem az: az egyenlet másik gyöke az 1.
A keresett másodfokú egyenletek tehát

\begin{matrix} x^{2} = 0 és x^{2} + x - 2 = 0. \end{matrix}