Jelöljük a szám négyzetgyökét $x$-szel, $x^2$ hatjegyű szám, ezért $x$ háromjegyű és $x^2$ első három jegyét letörölve keletkezik, vagyis az $x^2$ utolsó három jegyéből álló szám. Így tehát $x^2-x=x\left(x-1\right)$ utolsó három jegye $0$, osztható $1000$-rel. Feladatunk tehát olyan $x$ háromjegyű számok keresése, melyekre $x\left(x-1\right)$ osztható $1000=125\cdot 8$-cal.
Vizsgáljuk a $125$-tel való oszthatóságot. Mivel $x\left(x-1\right)$ osztható $125$-tel, ezért osztható $5$-tel is. $x$-nek és $x-1$-nek legnagyobb közös osztója $1$, ezért $x$ és $x-1$ közül csak egyik lehet $5$-tel osztható. Ekkor viszont az $5$-tel osztható tényező osztható $125$-tel is, így azt kaptuk, hogy $x$ és $x-1$ egyike osztható $125$-tel.
Hasonló okoskodással belátható, hogy a két tényező valamelyike osztható $8$-cal. Az azonban nem lehet, hogy ugyanaz a tényező osztható $125$-tel és $8$-cal, ekkor ugyanis ez a tényező osztható lenne $125\cdot 8=1000$-rel is, tehát legalább négyjegyű szám lenne. Így $x$ és $x-1$ egyike $125$-tel és a másik $8$-cal osztható. Olyan többszörösét kell keresnünk a $125$-nek, amelyiknek valamelyik szomszédja, vagyis az $1$-gyel kisebb vagy $1$-gyel nagyobb szám osztható $8$-cal. Ez a szomszéd páros is és $4$-gyel is osztható, ezért elég $125$ páratlan többszöröseivel próbálkozni, ezek: $125$, $375$, $625$ és $875$. Szomszédaik közül a $26$-ra és $74$-re végződők még $4$-gyel sem oszthatók, $124$ és $876$ sem osztható $8$-cal, így csak két számpár marad: $x=376$ és $x-1=375$, valamint $x=625$ és $x-1=624$.
Valóban: ${376}^2=141376$ és ${625}^2=390625$.