Kezdőlap


Feladat:	1966. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1966/november, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1966. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az utolsó egyenletnek csak olyan megoldása lehet, amelyikben egyik ismeretlen sem $0$ , így létezik a reciprokuk. A harmadik egyenletben az állandót a jobb oldalra víve, majd az első három egyenlet reciprokát véve, elsőfokú egyenletrendszert kapunk az ismeretlenek reciprokaira:

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a, \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = b, \frac{1}{z} + \frac{1}{u} = c . \end{matrix}

Innen bármely három ismeretlen kifejezhető a negyedikkel és a negyedik egyenletbe helyettesítve egyismeretlenes egyenletet kapunk. Célszerű lesz azonban először annak is a reciprokát venni és

x

-et és

y

-t, valamint

z

-t és

u

-t együtt tartva az első és a harmadik egyenlet felhasználásával átalakítani az egyenletet:

\begin{matrix} \frac{x + y + z + u}{x y z u} = \frac{x + y}{x y} \cdot \frac{1}{z u} + \frac{z + u}{z u} \cdot \frac{1}{x y} = a \frac{1}{z u} + c \frac{1}{x y} = d . \end{matrix}

Most kifejezzük

\frac{1}{y}

-nal a többi ismeretlen reciprokát és az utolsó egyenletbe helyettesítjük:

\begin{matrix} \frac{1}{x} = a - \frac{1}{y}, \frac{1}{z} = b - \frac{1}{y}, \frac{1}{u} = c - \frac{1}{z} = c - b + \frac{1}{y}; \\ a (b - \frac{1}{y}) (c - b + \frac{1}{y}) + c (a - \frac{1}{y}) \frac{1}{y} = d . \end{matrix}

Ebből rendezéssel a következő egyenletet kapjuk

\frac{1}{y}

-ra:

\begin{matrix} (a + c) {(\frac{1}{y})}^{2} - 2 a b (\frac{1}{y}) + a b^{2} - a b c + d = 0. \end{matrix}

(1)

Az első konstans értékek mellett elsőfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} - \frac{4}{y} + 7 = 0, \frac{1}{y} = \frac{7}{4}, így \\ \frac{1}{x} = - \frac{3}{4}, \frac{1}{z} = \frac{1}{4}, \frac{1}{u} = - \frac{5}{4} \end{matrix}

és az egyenletrendszer megoldása

\begin{matrix} x = - \frac{4}{3}, y = \frac{4}{7}, z = 4, u = - \frac{4}{5} . \end{matrix}

Ez valóban megoldás, mert

x + y

y + z

z + u

és

x + y + z + u

egyike sem

0

, és így minden végzett átalakítás megfordítható.
A matematikai osztályok feladata esetében (1) így alakul:

\begin{matrix} {(\frac{1}{y})}^{2} + 6 \cdot \frac{1}{y} - 16 = 0. \end{matrix}

Mindkét oldalhoz 25-öt adva

\begin{matrix} {(\frac{1}{y} + 3)}^{2} = 25, \end{matrix}

amiből a következő két lehetőség adódik:

\frac{1}{y} = 2

, és

\frac{1}{y} = - 8

. Ennek megfelelően a többi ismeretlen reciprokára is két értéket kapunk:

\begin{matrix} \frac{1}{y} = 2 esetén & \frac{1}{x} = - 1, \frac{1}{z} = 1 és & \frac{1}{u} = - 3; \\ \frac{1}{y} = 8 esetén & \frac{1}{x} = 9, \frac{1}{z} = 11 és & \frac{1}{u} = - 13. \end{matrix}

Innen a következő két gyökrendszer adódik:

\begin{matrix} x = - 1, & y = \frac{1}{2}, & z = 1 & és & u = - \frac{1}{3}, \\ x = \frac{1}{9}, & y = - \frac{1}{8}, & z = \frac{1}{11} & és & u = - \frac{1}{13} . \end{matrix}

Ismét mindkét számnégyes megoldása az egyenletrendszernek.