Kezdőlap


Feladat:	1966. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1967/január, 1 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Középpontos tükrözés, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 1966. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az egyik ( $P$ ) paralelogramma csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , az $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ oldalak felezőpontját rendre $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , az átlók metszéspontját $J$ . A másik ( $P'$ ) paralelogramma ebből eltolással kapható meg; legyenek a megfelelő megjelölt pontjai $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $E'$ , $F'$ , $G'$ , $H'$ , $J'$ (1. ábra).

1. ábra

Mind a két paralelogramma megjelölt pontjaiból egymástól függetlenül

9

-féleképpen választhatunk ki

1 - 1

pontot, ezek

9 \cdot 9 = 81

szakaszt határoznak meg. A különböző felezőpontok számának megállapításában

P

és

P'

megjelölt pontjaiból egyszerre mindig olyan

3

-at-

3

-at veszünk figyelembe, melyek egy az

A B

oldallal párhuzamos oldal vagy középvonal pontjai.
Az

A

E

B

és

A'

E'

B'

pontok

9

szakaszt határoznak meg, ezek közül az

A B B' A'

paralelogramma

K

középpontja felezi a két átlót és az

E E'

középvonalat, tehát

3

szakaszt; az

A E E' A'

és

E B B' E'

paralelogrammák középpontja

L 1

, illetőleg

L 2

e paralelogrammák átlóit, tehát

2 - 2

tekintetbe veendő szakaszt feleznek; az

A A'

és

B B'

oldalak felezőpontjai,

I 1

, illetőleg

I 2

csak ezt az

1 - 1

szakaszt. A felsorolt pontok az

A B B' A'

paralelogramma

I_{1} I_{2}

középvonalának különböző pontjai és azt

4

egyenlő szakaszra osztják.
Hasonlóan

5

különböző pontot kapunk az

A

E

B

és

H'

J'

F'

pontok közül egyet-egyet összekötő

9

szakasz felezőpontjaiból, az

A B F' H'

paralelogramma

I I_{1}

I I_{2}

középvonalán. Ez az

A H'

szakasz felezőpontján megy át és párhuzamos

A B

-vel, így különbözik az előbbi

5

pontot tartalmazó egyenestől.
Ugyanez az öt. pont adódik a

H

J

F

és az

A'

E'

B'

pontok közül egyet-egyet összekötő szakaszok felezőpontjaiból, hiszen pl. az

A A' H' H

paralelogrammában az

A H'

és

H A'

átlók felezőpontja egybeesik, hasonlóan a többi megfelelő szakaszpárok felezőpontjai is. így ez az

5

pont rendre

2

4

6

4

2

megrajzolandó szakaszt felez.

5 - 5

különböző pont adódik az alább felsorolt két-két ponthármas felezőpontjaiként is, egy-egy az

A B

-vel párhuzamos egyenesen:

\begin{matrix} III. & A, E, B és D', G', C', IV. H, J, F és D', G' C', V. D, G, C, és D' G' C'; \\ H, J, F és H', J' F', D, G, C és H', J', F'; \\ D, G, C és A', E', B'; \end{matrix}

és az egy oszlopban álló ponthármas-párok ugyanazt az

5

pontot adják, mert pl. az

A D D' A'

paralelogramma

A D'

és

D A'

átlóinak, valamint

H H'

középvonalának felezőpontja közös, a

I I I_{1}

pont. A

I I I_{1}

és

I I I_{2}

pontokkal meghatározott szakaszon levő

5

pont rendre

3

6

9

6

3

figyelembe veendő szakaszt felez, a

I V_{1}

-gyel és

I V_{2}

-vel meghatározott szakasz pontjai

2

4

6

4

2

szakaszt, végül az

V_{1} V_{2}

szakasz

5

pontja

1

2

3

2

1

pontot. A sorra vett

9

ponthármas-párban mind a

81

szakasz felezőpontját figyelembe vettük.
A

I I I_{1}

- ből kiinduló pont-ötös különböző az

I_{1}

-ből és

I I_{1}

- ből kiindulótól, hiszen a kezdőpontok az

A A'

A H'

A D'

szakaszok felezőpontjai, és összekötő egyenesük

A D

-vel párhuzamos. Ugyanígy

I V_{1}

és

V_{1}

is különbözik a többi kiindulópontoktól. Mindezek szerint

5 \cdot 5 = 25

különböző felezőpontot kaptunk.

Megjegyzések. 1. Elindulhatunk a különböző felezőpontok megszámlálásában úgy is, hogy egy kiszemelt pontpár felezőpontjára tükrözzük

P'

-t- ami által a

P'

-ből kiszemelt pont képe mindenesetre a

P

-ből kiszemelt pontba esik -, és számba vesszük, hogy

P'

további megjelölt pontjainak tükörképei közül hány esik egybe

P

-nek egy további megjelölt pontjával. így a

J J'

szakasz

O

felezőpontjára való tükrözéssel

P'

mindegyik megjelölt pontjának képe

P

-nek egy megjelölt pontjába esik, az

O

pont

9

szakaszt felez, vagyis ugyanerre a fedésre vezet az

A

és

C'

, az

E

és

G'

...

, a

H

és

F'

pontpárból való kiindulás. A

J E'

J F'

J G'

és

J H'

szakaszok felezőpontjai

6 - 6

szakaszt feleznek, mert pl. a

J E'

-nek

M

felezőpontjára való tükrözés

A' B'

-t

F H

-ra,

H' F'

-t

B A

-ra viszi, s így tovább. - Ezen az úton kissé nehézkes a már számba vett pontpárok nyilvántartása.
Egy további elindulási lehetőség: tekintsük az

A

-ból

P'

összes megjelölt pontjaiba vezető szakaszok felezőpontjait, ezek

P'

felére kicsinyített képét adják, vagyis

9

különböző pontot.

P'

-nek egymás után

E

-ből,

B

-ből,

F

-ből és

C

-ből való hasonló kicsinyítésekor egybeesések miatt csupán

3 - 3

új felezőpont adódik, a

G

-ből és

D

-ből való kicsinyítéskor már csak

2 - 2

, végül a

H

-ból és

J

-ből való kicsinyítéskor már egy sem. Ennek lépésről lépésre való pontos átgondolása szintén hosszadalmasabb a fentinél.

2. Könnyű belátni, hogy megállapításaink akkor is érvényesek, ha a két eredeti paralelogramma két különböző síkban van.