Kezdőlap


Feladat:	1965. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1966/január, 1. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1965. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az átalakítandó kifejezést $K$ -val. A kéttagúak négyzeteit tagokra bontva és részben beszorozva:

\begin{matrix} K = [a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} - 2 (a c + b d)] (a^{2} + b^{2}) - a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2} + 2 a b c d = \\ = {(a^{2} + b^{2})}^{2} + (c^{2} + d^{2}) (a^{2} + b^{2}) - 2 (a c + b d) (a^{2} + b^{2}) - \\ - a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2} + 1 a b c d . \end{matrix}

A második szorzatot tagokra bontva összevonások után a szorzatból két tag marad, amelyek az utolsó taggal együtt teljes négyzetet alkotnak:

a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + 2 a b c d = {(a c + b d)}^{2}

. Így

K

is teljes négyzet:

\begin{matrix} K = {(a^{2} + b^{2})}^{2} + {(a b + b c)}^{2} - 2 (a c + b d) (a^{2} + b^{2}) = {[a^{2} + b^{2} - (a d + b c)]}^{2} . \end{matrix}

Ezzel

K

-t két (egyenlő) tényező szorzatává alakítottuk.