Kezdőlap


Feladat:	1965. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/december, 193 - 194. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1965. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenletnek akkor van értelme, ha egyik tört nevezője sem nulla. Tegyük fel, hogy ez teljesül, azaz legyen $a \neq b$ , $a \neq - b$ , és $x$ -nek csak a $0$ -tól különböző értékeit engedjük meg.
Gyűjtsük a bal oldalra az ismeretlent tartalmazó tagokat:

\begin{matrix} \frac{a + b}{x} - \frac{a - b}{x} = \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b}, \end{matrix}

majd hozzuk közös nevezőre a jobb oldalt is

\begin{matrix} \frac{2 b}{x} = \frac{2 b}{a^{2} - b^{2}} . \end{matrix}

(2)

A két egyenlő tört számlálója azonos. Ha ez nem nulla, akkor ebből következik, hogy a két nevező is egyenlő, vagyis

\begin{matrix} x = a^{2} - b^{2} . \end{matrix}

Csak azonos átalakításokat végeztünk, a kapott érték valóban gyöke az egyenletnek, mert feltevésünk miatt

x \neq 0

, és így az egyenlet

x

-nevezőjű tagjainak is van értelme.
Ha

b = 0

(és így a feltevés szerint

a \neq 0)

, akkor (2)-nek minden

x \neq 0

szám eleget tesz, ugyanis (1) így alakul

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{a}{x} = \frac{1}{a} + \frac{a}{x} \end{matrix}

(1a)

Ezek szerint

a \neq b \neq 0

és

a \neq - b

esetén az egyenlet egyetlen megoldása

x = a^{2} - b^{2}

;

a \neq b = 0

esetén pedig minden szám megoldása az egyenletnek, kivéve

x = 0

II. megoldás. Szorozzuk meg az egyenletet

(a + b) (a - b) x

-szel:

\begin{matrix} (a - b) x + {(a + b)}^{2} (a - b) = (a + b) x + {(a - b)}^{2} (a + b) . \end{matrix}

Tagokra bontás, rendezés majd kiemelés után

\begin{matrix} 2 b (x + b^{2} - a^{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

Ez akkor áll fenn, ha legalább az egyik tényező nulla.
Ha

b \neq 0

, és a zárójelben levő kifejezés nulla, akkor

\begin{matrix} x = a^{2} - b^{2}, \end{matrix}

és ezt (1) két oldalába külön-külön behelyettesítve az

\begin{matrix} \frac{1}{a + b} + \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}, illetve \frac{1}{a - b} + \frac{a - b}{a^{2} - b^{2}} \end{matrix}

kifejezéseket kapjuk. Ha ennek a két kifejezésnek van értelme, azaz ha

a \neq b

és

a \neq - b

, akkor értékük egyenlő, vagyis

x = a^{2} - b^{2}

gyöke az egyenletnek. Ha

a = b

vagy

a = - b

, akkor nincs megoldása az egyenletnek.
Ha

b = 0

, akkor (3)-ban

a

és

x

bármely értéket felvehet, kivéve a nullát, mert ekkor ‐ mint (1a) mutatja ‐ az eredeti egyenletnek nincs értelme.