Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/február, 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetszés szerinti négy számból, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ -ből a feladatban szereplő összeget képezve és egyet hozzáadva szorzattá alakítható kifejezést kapunk, ugyanis

\begin{matrix} 1 + (a + b + c + d) + (a b + a c + a d + b c + b d + c d) + \\ + (a b c + a b d + a c d + b c d) + a b c d = (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + d), \end{matrix}

amint az könnyen látható.
Ha a számok egymás utáni páratlan számok, akkor az 1-gyel megnövelt számok egymás utáni páros számok. A köztük középen levő páratlan számot (páratlan számaink közül növekedő sorrendben a harmadikat)

x

-szel jelölve páros számaink

x - 3

x - 1

x + 1

x + 3

. Ezek szorzatáról tudjuk, hogy 1-gyel nagyobb az adott összegnél, azaz

\begin{matrix} (x - 3) (x - 1) (x + 1) (x + 3) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 1) = \\ = x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 26 880. & (11) \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{2} - 26 871 = 0, x^{2} = 5 \pm 164. \end{matrix}

Csak a pozitív gyökhöz, 169-hez tartozik valós

x

érték, éspedig

x_{1} = 13

x_{2} = - 13

. Ezek páratlan egész számok, így van a feladat feltételeinek megfelelő számnégyes, kettő is: 9, 11, 13, 15 és

- 17

- 15

- 13

- 11

Megjegyzések. 1. Nem használtuk fel a megoldásban a számok páratlan egész voltát, így elég lett volna csak annyit előírni, hogy 2 különbségű számtani sorozatot alkossanak.
Tovább haladhatunk (11)-ből ezeknek a feltételeknek a kihasználásával és a számtani és mértani közép egyenlőtlenségét használva. (11) pozitív megoldásait keresve a bal oldal a négy egymás utáni páros szám mértani közepének a negyedik hatványa. A számok számtani közepe az

x

páratlan szám, erre

\begin{matrix} x > \sqrt[4]{26 880} > \sqrt[]{163} > 12. \end{matrix}

x = 13

-mal próbálkozva

10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16 = 26 880

, s így megoldást kaptunk, 9, 11, 13, 15 kielégíti a feladat követelményeit. Minden tényezőt a negatívjával helyettesítve látjuk, hogy

- 12 - 1 = - 13

is megoldást ad, s így a

- 17

- 15

- 13

- 11

számok is megfelelnek a feladat követelményeinek. Mivel (11) bal oldalának az értéke

x = \pm 1

\pm 3

-ra 0, 3-nál nagyobb abszolút értékű

x

-ekre pedig

x

abszolút értékének növekedésével minden tényező abszolút értéke, tehát a szorzat is növekszik, így több megoldás nincs.