A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tetszés szerinti négy számból, , , , -ből a feladatban szereplő összeget képezve és egyet hozzáadva szorzattá alakítható kifejezést kapunk, ugyanis
amint az könnyen látható. Ha a számok egymás utáni páratlan számok, akkor az 1-gyel megnövelt számok egymás utáni páros számok. A köztük középen levő páratlan számot (páratlan számaink közül növekedő sorrendben a harmadikat) -szel jelölve páros számaink , , , . Ezek szorzatáról tudjuk, hogy 1-gyel nagyobb az adott összegnél, azaz
Ebből | |
Csak a pozitív gyökhöz, 169-hez tartozik valós érték, éspedig , . Ezek páratlan egész számok, így van a feladat feltételeinek megfelelő számnégyes, kettő is: 9, 11, 13, 15 és , , , .
Megjegyzések. 1. Nem használtuk fel a megoldásban a számok páratlan egész voltát, így elég lett volna csak annyit előírni, hogy 2 különbségű számtani sorozatot alkossanak. Tovább haladhatunk (11)-ből ezeknek a feltételeknek a kihasználásával és a számtani és mértani közép egyenlőtlenségét használva. (11) pozitív megoldásait keresve a bal oldal a négy egymás utáni páros szám mértani közepének a negyedik hatványa. A számok számtani közepe az páratlan szám, erre -mal próbálkozva , s így megoldást kaptunk, 9, 11, 13, 15 kielégíti a feladat követelményeit. Minden tényezőt a negatívjával helyettesítve látjuk, hogy is megoldást ad, s így a , , , számok is megfelelnek a feladat követelményeinek. Mivel (11) bal oldalának az értéke , -ra 0, 3-nál nagyobb abszolút értékű -ekre pedig abszolút értékének növekedésével minden tényező abszolút értéke, tehát a szorzat is növekszik, így több megoldás nincs. |