Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/február, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy az egyenletben szereplő kifejezéseknek értelme legyen, kell, hogy $x > 0$ , továbbá $x - \sqrt[]{x} ≧ 0$ legyen. Az utóbbi pozitív $x$ -re akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} x ≧ 1. \end{matrix}

(3)

Ilyen

x

-ekre a jobb oldali négyzetgyökös kifejezéssel végig oszthatjuk (2)-t, az egyenlet 1-nél nem kisebb

x

-ekre akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{x + \sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}} + \sqrt[]{\frac{x^{2} - x}{x}} = \sqrt[]{x} + 1 - \sqrt[]{x - 1} = \frac{3}{2}, \end{matrix}

azaz ha

\begin{matrix} \sqrt[]{x} - \frac{1}{2} = \sqrt[]{x - 1} . \end{matrix}

(4)

Itt a bal oldal a (3) feltétel mellett pozitív, tehát a két oldal (a gyököket nem negatívnak véve) akkor és csak akkor egyenlő, ha a négyzeteik egyenlők:

\begin{matrix} x - \sqrt[]{x} + \frac{1}{4} = x - 1, \sqrt[]{x} = \frac{5}{4}, x = \frac{25}{16} . \end{matrix}

Ez 1-nél nagyobb szám, tehát az egyenlet egyetlen megoldása.

Megjegyzés: (4)-et

\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x - 1} = 1 / 2

alakban írva, majd a pozitív

2 (\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x - 1})

kifejezéssel szorozva a

\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x - 1} = 2

egyenlet adódik, amiből és az előbbiből, mint elsőfokú egyenletrendszerből ismét

\sqrt[]{x} = 5 / 4

(és az ezzel összhangban levő

\sqrt[]{x - 1} = 3 / 4

eredmény adódik.