Feladat: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1965/február, 52 - 54. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Prímtényezős felbontás, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a hatjegyű négyzetszámot n2-tel, ennek középső részét alkotó kétjegyű számot x-szel, az utolsó és a középső kétjegyű szám különbségét y2-tel. Ekkor feladatunk követelménye így írható:

n2=x⋅104+x⋅1O2+(x+y2)=10101x+y2.
Ezt átrendezéssel és az együtthatót törzsszámok szorzatára bontva a következő alakra hozhatjuk:
(n+y)(n-y)=37⋅13⋅7⋅3⋅x.(7)

n2 hatjegyű, ez azt jelenti, hogy 105≦n2<105. Mivel 3162<105<3172, így.
317≦n≦999.

Másrészt x és x+y2 kétjegyű számok:
x≧10  és  x+y2≤99,(8)
így
y2≦99-x≦99-10=89;
és mivel nyilván elegendő y nem negatív értékeire szorítkoznunk, azért 0≦y≦9.
Így (7) bal oldalának tényezőire a következő korlátozások állnak fenn:
{n+y≦999+9=1008,(9)n-y≧317-9=1308,
továbbá a két tényező különbségére:
(n+y)-(n-y)=2y≦18.(10)
Ezek szerint olyan x kétjegyű számot kell keresnünk, hogy (7) jobb oldala a (9)‐(10) korlátozásoknak megfelelő két egész tényező szorzatára legyen bontható, belőlük n és y is egésznek adódjék, végül x-re és y-ra (8) is teljesüljön. Evégett minden szóba jövő módon két tényezős szorzattá próbáljuk alakítani (7) jobb oldalát, gondolva x felbontására is, legyen x=x1x2 (x1 és x2 egyike lehet 1 is).
A (7) alatti törzsszámok szorzata nagyobb 1008-nál, így nem lehet mind ugyanabban a tényezőben. Két 1008-nál kisebb tényezőre a következő módokon bontható szét:
13⋅777,21⋅481,37⋅273,39⋅259és91⋅111.

(7) bal oldalának két tényezőjét 13x1 és 777x2 alakban keresve (9) miatt csak x2=1 felel meg, ez a tényező 777, ennélfogva (10) miatt a másik tényezőre
777-18=759≦13x1≦795=777+18,
amiből, 13-mal osztva, és a hányadosnak csak az egész részét kiírva
58<x1≦61.
n és y csak akkor egész, ha összegük és különbségük ugyanolyan párosságú. A 777-es tényező páratlan, ezért csak x'1=59 és x''1=61 jön szóba.
Az első esetben x=x'x2=59, a második tényező 13⋅59=767, kisebb 777-nél, így n+y=777, n-y=767; amiből n=772, y=5; és x+y2=84, kétjegyű szám, tehát megoldást találtunk. Valóban, 7722=595984, megfelel a feltételnek.
A második esetben x=61, és y=8 adódik, ezekből x+y2 háromjegyű szám, innen nem adódik megoldás.
Hasonló gondolatmenettel 21x1, 481x2 alakú tényezőket keresve (9) miatt csak x2=1 vagy 2 lehetséges. Mindkettővel megoldás adódik: x2=1 esetén x1=23, x=23, n=482, y=1, és n2=232324; valamint x2=2 esetén x1=46, x=92, n=964, y=2, és n2=929296. (Az utóbbiban x2, x1, n és y kétszer, n2 és x négyszer akkora, mint az előbbi megoldás megfelelő száma.)
Ha a tényezőket 37x1 és 273x2 alakban keressük, (9) miatt csak x2=2 és 3 jön szóba. x2=2 esetén x1 csak páros lehet, ámde 546-18=528 és 546+18=564 közé 37-nek csak páratlan többszöröse esik: 555=15⋅37. Nem ad megoldást x2=3 sem, mert így x1 páratlan, viszont 3⋅273-18=801 és 3⋅273+18=837 közé 37-nek csak páros többszöröse esik: 814=22⋅37.
Nem adódik megoldás sem 39x1, 259x2 alakú tényezőkkel, sem 91x1, 111x2 alakú tényezőkkel, mert véve x2-nek a (9) megengedte értékeit és a(10) alapján adódó korlátokat, ezek közé x1 együtthatójának vagy nem esik többszöröse, vagy az adódó többszörös párossága nem egyezik x2 párosságával.
Mindezek szerint a feladat feltételeinek a következő három négyzetszám felel meg:
4822=232324,7722=595984és9642=929296.