A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a hatjegyű négyzetszámot -tel, ennek középső részét alkotó kétjegyű számot -szel, az utolsó és a középső kétjegyű szám különbségét -tel. Ekkor feladatunk követelménye így írható: | | Ezt átrendezéssel és az együtthatót törzsszámok szorzatára bontva a következő alakra hozhatjuk: | | (7) |
hatjegyű, ez azt jelenti, hogy . Mivel , így. Másrészt és kétjegyű számok: így és mivel nyilván elegendő nem negatív értékeire szorítkoznunk, azért . Így (7) bal oldalának tényezőire a következő korlátozások állnak fenn: | | továbbá a két tényező különbségére: Ezek szerint olyan kétjegyű számot kell keresnünk, hogy (7) jobb oldala a (9)‐(10) korlátozásoknak megfelelő két egész tényező szorzatára legyen bontható, belőlük és is egésznek adódjék, végül -re és -ra (8) is teljesüljön. Evégett minden szóba jövő módon két tényezős szorzattá próbáljuk alakítani (7) jobb oldalát, gondolva felbontására is, legyen ( és egyike lehet 1 is). A (7) alatti törzsszámok szorzata nagyobb 1008-nál, így nem lehet mind ugyanabban a tényezőben. Két 1008-nál kisebb tényezőre a következő módokon bontható szét: | |
(7) bal oldalának két tényezőjét és alakban keresve (9) miatt csak felel meg, ez a tényező 777, ennélfogva (10) miatt a másik tényezőre | | amiből, 13-mal osztva, és a hányadosnak csak az egész részét kiírva és csak akkor egész, ha összegük és különbségük ugyanolyan párosságú. A 777-es tényező páratlan, ezért csak és jön szóba. Az első esetben , a második tényező , kisebb 777-nél, így , ; amiből , ; és , kétjegyű szám, tehát megoldást találtunk. Valóban, , megfelel a feltételnek. A második esetben , és adódik, ezekből háromjegyű szám, innen nem adódik megoldás. Hasonló gondolatmenettel , alakú tényezőket keresve (9) miatt csak vagy 2 lehetséges. Mindkettővel megoldás adódik: esetén , , , , és ; valamint esetén , , , , és . (Az utóbbiban , , és kétszer, és négyszer akkora, mint az előbbi megoldás megfelelő száma.) Ha a tényezőket és alakban keressük, (9) miatt csak és 3 jön szóba. esetén csak páros lehet, ámde és közé 37-nek csak páratlan többszöröse esik: . Nem ad megoldást sem, mert így páratlan, viszont és közé 37-nek csak páros többszöröse esik: . Nem adódik megoldás sem , alakú tényezőkkel, sem , alakú tényezőkkel, mert véve -nek a (9) megengedte értékeit és a(10) alapján adódó korlátokat, ezek közé együtthatójának vagy nem esik többszöröse, vagy az adódó többszörös párossága nem egyezik párosságával. Mindezek szerint a feladat feltételeinek a következő három négyzetszám felel meg: | |
|