Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/január, 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Prímszámok, Maradékos osztás, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdéses szám első jegye nyilván 1, hiszen minden más esetben az első jegy helyére 1-et írva egy ugyanolyan tulajdonságú, de kisebb számot kapnánk.

Legyen az első jegy elhagyásával keletkező szám

N

. A feltétel szerint

N = 4 p

és

N + 1 = 5 q

, ahol

p

és

q

prímszámok.
Ebből

\begin{matrix} q = 5 q - 4 q = 4 p + 1 - 4 q = 4 (p - q) + 1 = 4 k + 1, \end{matrix}

és

\begin{matrix} 4 p = 5 q - 1 = 20 k + 4, azaz p = 5 k + 1, \end{matrix}

ahol

k

egész szám.

k

növekedésével

p

, és így

N

is növekszik, ezért feladatunk a legkisebb olyan

k

egész szám meghatározása, melyre

p = 5 k + 1

is,

q = 4 k + 1

is prímszám.
Mivel

N

nem negatív, így

p

és

q

sem, és mivel prímek, így 1-nél nagyobbak, tehát

k \geq 1

k

páros, mert különben 5

k + 1

páros összetett szám lenne.

k

-nak oszthatónak kell lennie 3-mal is, mert ha 1 maradékot adna, akkor

5 k + 1

lenne 3-mal osztható és 3-nál nagyobb, tehát összetett, ha pedig 2 maradékot adna, akkor

4 k + 1

. Így 2-vel és 3-mal, tehát 6-tal is osztható szám:

k = 6 n

p = 30 n + 1

, és

q = 24 n + 1

, és feladatunk megkeresni azt a legkisebb

n

pozitív egész számot, amelyre

p

is,

q

is prím.
Kipróbálva a első néhány értékét, az alábbi táblázatban kiírtuk egy‐egy összetettnek adódó érték prímtényezős felbontását:

\begin{matrix} \begin{matrix} n = 1 & esetén & 24 n + 1 = 5^{2} \\ n = 2 & esetén & 24 n + 1 = 7^{2} \\ n = 3 & esetén & 30 n + 1 = 7 \cdot 13, \\ n = 4 & esetén & 30 n + 1 = 11^{2}, \\ n = 5 & esetén & 24 n + 1 = 11^{2}, \\ n = 6 & esetén & 24 n + 1 = 5 \cdot 29, \\ n = 7 & esetén & 24 n + 1 = 13^{2}, \\ n = 8 & esetén & 30 n + 1 = 241, & 24 n + 1 = 193. \end{matrix} \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy 241 és 193 mindegyike prím. Így

N = 4 \cdot 241 = 964

, és a keresett szám 1964.