Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/január, 4 - 5. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Maradékos osztás, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk a feltételt szorzat alakban:

\begin{matrix} \bar{D B A} \cdot D = \bar{A B C D} . \end{matrix}

(2)

Tekintsük először az

A

és

D

számjegyeket; első jegy gyanánt csak ezek lépnek fel, így egyikük sem 0.
A szorzat utolsó jegye, ami nem más, mint a

D \cdot A

rész‐szorzat utolsó jegye, egyenlő

D

-vel, így különbségük,

D A - D = D (A - 1)

, osztható 10-zel. Ezért

D

és

A - 1

közül legalább az egyik osztható 5-tel, mert 5 törzsszám. Ha

D

osztható 5-tel, akkor csak

D = 5

lehet, ha pedig

A - 1

osztható 5-tel, akkor értéke 5 vagy 0; így az alábbi lehetőségek jönnek szóba:

\begin{matrix} a) D = 5, b) A = 6, c) A = 1. \end{matrix}

Másrészt a szorzandóra:

\begin{matrix} 100 D < \bar{D B A} < 100 (D + 1), \end{matrix}

és így a szorzatra:

\begin{matrix} 100 D^{2} < D B \cdot D = \bar{A B C D} < 100 D (D + 1) . \end{matrix}

(3)

Hasonlóan a szorzatra a kezdő jegye alapján:

\begin{matrix} 1000 A < \bar{A B C D} < 1000 (A + 1) . \end{matrix}

(4)

A közös belső tag miatt (4) bal oldala kisebb (3) jobb oldalánál, és (3) bal oldala kisebb (4) jobb oldalánál:

\begin{matrix} 1000 A < 100 D (D + 1), & azaz (5) 10 A < D^{2} + D, \\ 100 D^{2} < 1000 (A + 1), & azaz (6) D^{2} < 10 (A + 1) . \end{matrix}

Ezek alapján az a) lehetőség esetében

A < 3

, ill.

A > 1, 5

,
tehát

A = 2

, így viszont

D (A - 1) = 5

, nem osztható 10-zel, ez a feltevés nem vezet megoldásra.
A b) esetben (6) alapján

D^{2} < 70

D \leq 8

, ezt felhasználva (5)-ből

\begin{matrix} D^{2} > 10 A - D = 60 - D \geq 52, D > 7, \end{matrix}

tehát csak

D = 8

jön szóba. Ekkor azonban a követelményből

\begin{matrix} (800 + 10 B + 6) \cdot 8 = 6000 + 100 B + 10 C + 8, \\ 2 B + C = B + B + C = 44, \end{matrix}

ami lehetetlen, mert három számjegy összege legfeljebb 27. Innen sem kapunk megoldást.
A hátra levő

A = 1

esetben (6)-ból

D^{2} < 20

D \leq 4

, így (5)-ből

\begin{matrix} D^{2} > 10 A - D \geq 10 - 4 = 6, D \geq 3, \end{matrix}

D

szóba jövő értékei 3 és 4. Ekkor (2)-ből

\begin{matrix} 100 D^{2} + 10 B D + D = 1000 + 100 B + 10 C + D, \\ C + (10 - D) B = 10 (D^{2} - 10), \end{matrix}

a bal oldal sohasem negatív, a jobb oldal viszont csak

D > 3

esetén nem az.

A fennmaradt

D = 4

lehetőség esetében

\begin{matrix} C + 6 B = 60, \end{matrix}

itt

C < 10

miatt

6 B > 50

B > 8

, és a

B = 9

C = 6

jegyekkel megoldást kapunk:

\begin{matrix} 491 \cdot 4 = 1964, \end{matrix}

tehát a keresett szám 1964.

A megoldásban nem kellett kihasználnunk, hogy különböző betűk helyére különböző számjegyek írandók, csak azt, hogy kezdő számjegy nem lehet 0.