Feladat: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1965/január, 5 - 6. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Tengelyes tükrözés, Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett háromszög ABC, benne a C csúcsnak az AB oldaltól, illetőleg annak F felezőpontjától mért távolsága az adott mc magasság, illetőleg sc súlyvonal, továbbá a CAB és CBA szögek különbsége egyenlő az adott δ szöggel.

 

2. ábra
 
Először a δ>0 esettel foglalkozunk. Tükrözzük az ABC háromszöget az AB oldal f felező merőlegesére, C tükörképét jelöljük C'-vel. Ekkor CC' párhuzamos AB-vel, tőle mc távolságra van, C'F=CF=sc, a CC' szakasz látószöge pedig A és B csúcsból a tükrözés folytán a háromszög AB oldalán fekvő szögeinek a különbsége:
CAC'∢=CBC'∢=δ.
Ezek szerint meg tudjuk szerkeszteni először is a CFC' egyenlő szárú háromszöget mc magasságából és sc szárából: egy e egyenesre egy pontjában f merőlegest állítunk, erre e-től egyik irányban rámérjük mc-t, végpontja F. Az F körüli sc sugarú körrel kimetsszük e-ből a C és C' pontot. Ezután az A és B pontot az F-en át e-vel párhuzamosan húzott egyenesből az az i körív metszi ki, amelyről CC' δ szögben látszik, és amelyik e-nek azon a partján van, amelyiken F.
Az ABC háromszög megfelel a feladat követelményeinek, mert AB-re merőleges magassága mc, miután AB∥CC', CF súlyvonala sc hosszúságú, végül A és B egymás tükörképe f-re, mert az i ív középpontja rajta van a CC' húr felező merőlegesén, f-en, így az A és B csúcsnál levő szögeinek különbsége egyenlő a CAB és C'AB szögek különbségével, ez pedig szerkesztés szerint δ.
A másik keletkező háromszög, ABC', az előbbi tükörképe f-re, így nem tekintjük attól különböző megoldásnak.
Nyilvánvaló, hogy a CC'F háromszög akkor és csak akkor jön létre, ha sc>mc. A és B akkor és csak akkor jön létre, ha F benne van abban a körben, melynek része i, vagyis ha CF-nek F-en túli meghosszabbítása metszi ezt a kört. A metszéspontot H-val jelölve ez akkor és csak akkor következik be, ha
CFC'∢>CHC'∢=δ.

Ha δ=0, akkor a háromszög egyenlő szárú, és mc=sc. Így ha e két feltétel egyike teljesül, akkor csak abban az esetben van a követelményeknek megfelelő háromszög, ha a másik is teljesül. Ha ez nem áll, az adatok ellentmondók; ha viszont teljesül, akkor minden mc magasságú, egyenlő szárú háromszög megfelel, így a feladat határozatlan.
 

Összefoglalva: a feladat megoldható, ha sc>mc, továbbá az mc magassággal és sc szárral szerkesztett egyenlő szárú háromszögnek a szárak közti szöge nagyobb δ-nál. E feltételek teljesülése esetén a feladatnak egy megoldása van.