Feladat: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1965/január, 2 - 3. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Tengelyes tükrözés, Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az adott szögkülönbség 0, akkor egyenlő szárú háromszöget kell szerkeszteni az alapjából és az ehhez tartozó magasságból. Ennek megoldása jól ismert, így tovább azzal az esettel foglalkozunk, amikor az adott δ szögkülönbség pozitív.
Legyen ABC a keresett háromszög, a jelölést úgy választva, hogy AB=c legyen az adott hosszúságú oldal, C-nek AB-től való távolsága az adott mc magasság, az A és B csúcsoknál levő α és β szög különbsége pedig δ. Húzzuk meg C-n át az AB-vel párhuzamos d egyenest. Ennek C-ből induló és AB-vel egyező irányú d1 félegyenese CB-vel β nagyságú szöget zár be, az AC oldal C-n túli meghosszabbításával, e-vel bezárt szöge pedig a. Így CB-t d-re tükrözve létrejön az adott szögkülönbség. Jelöljük B tükörképét d-re B'-vel, ekkor CB' is β nagyságú szöget zár be d1-gyel, s így CB' és e szöge δ, tehát ACB'∢=180∘-δ.

 

1. ábra
 
A d egyenes és B-nek erre vonatkozó tükörképe C ismerete nélkül is megszerkeszthető. Így a következő szerkesztéshez jutottunk: Rajzoljunk c hosszúságú AB szakaszt és az AB egyenes egyik oldalán, tőle mc távolságban egy vele párhuzamos d egyenest. Szerkesszük meg a B pont d-re vonatkozó tükörképét, B'-t. Szerkesszük meg végül azt a körívpárt, amiről az AB' szakasz 180∘-δ szögben látszik. A d egyenes és a körívpár C1 és C2 metszéspontja lehet a háromszög harmadik csúcsa. Ezek meg is felelnek, mert bármelyiket jelölve C-vel az ABC háromszögben AB=c, az erre merőleges magasság mc, továbbá d-nek a C-ből induló, AB-vel egyirányú félegyenese AC meghosszabbításával α nagyságú szöget zár be. CB'-vel pedig ugyanakkorát, mint a tükörképével, CB-vel, az utóbbi szög szárai pedig ellenkező irányban párhuzamosak β száraival. Így α és β különbsége egyenlő az AC meghosszabbítása és CB' közti szöggel, ami viszont az ACB'∢ kiegészítő szöge, tehát δ.
 
A keletkezett két háromszög egymás tükörképe az AB oldal f felező merőlegesére, ugyanis a körívpár centrál‐szimmetrikus az AB' szakasz D felezőpontjára. Ezen megy át a d egyenes is, mert átmegy BB' felezőpontján és párhuzamos AB-vel. Ugyancsak átmegy D-n f is, mint az ABB' derékszögű háromszög középvonala. Így C1 és C2 az f-re D-ben merőleges d egyenesen D-től egyenlő távolságra van, tehát a két pont egymás tükörképe f-re vonatkozóan.
 
Mivel A és B' a d egyenes különböző partján van, így az egyenes a körívpár mindkét ívét metszi és mindegyiket csak egy pontban, a feladatnak tehát mindig van megoldása és csak egy (ha, mint szokás, egybevágó megoldásokat nem tekintünk lényegesen különbözőknek).