Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1965/január, 1 - 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenség bal oldalából levonva a jobb oldalt, a keletkező $k$ különbség nem lehet negatív. Ha $a$ helyébe $b$ -t, $b$ helyébe $c$ -t, $c$ helyébe $a$ -t, vagy $a$ helyébe $c$ -t, $c$ helyébe $b$ -t, $b$ helyébe $a$ -t írunk, a különbségben csak a tagok sorrendje változik meg, ezért feltehetjük, hogy $a$ a számhármasban előforduló legkisebb érték, azaz

\begin{matrix} x = b - a \geq 0 és y = c - a \geq 0. \end{matrix}

Fejezzük ki

k

-t

a

x

és

y

segítségével:

\begin{matrix} k = a^{3} + b^{3} + c^{3} - a^{2} b - b^{2} c - c^{2} a = a^{3} + {(a + x)}^{3} + \\ + {(a + y)}^{3} - a^{2} (a + x) - {(a + x)}^{2} (a + y) - {(a + y)}^{2} a = \\ = 2 a (x^{2} - x y + y^{2}) + (x^{3} - x^{2} y + y^{3}) . \end{matrix}

Itt egyik zárójeles kifejezés sem negatív, amint az a következő átalakításokból nyilvánvaló:

x \geq y

, akkor

\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = x (x - y) + y^{2} \geq 0, és \\ x^{3} - x^{2} y + y^{3} = x^{2} (x - y) + y^{3} \geq 0; \end{matrix}

ha pedig

x < y

, akkor

\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = x^{2} + y (y - x) > 0, és \\ x^{3} - x^{2} y + y^{3} = x^{3} + y (y^{2} - x^{2}) > 0. \end{matrix}

Egyik esetben sem lehet tehát

k

negatív.
A fenti átalakításokból látható, hogy 0 is egyedül akkor lesz

k

, tehát az eredeti egyenlőtlenség két oldala csak akkor egyenlő, ha mind a két zárójeles kifejezés 0. Ez akkor áll fenn, ha

x = y

és közös értékük 0, azaz ha

a = b = c

II. megoldás. Az előző megoldás bevezető meggondolása szerint feltehetjük, hogy a

c

szám sem

a

-nál, sem

b

-nél nem kisebb. A bal és jobb oldal

k

különbségét így alakítjuk át:

\begin{matrix} k & = a^{2} (a - b) + b^{2} (b - c) + c^{2} (c - a) = \\ = a^{2} (a - b) - b^{2} [(c - a) + (a - b)] + c^{2} (c - a) = \\ = (a^{2} - b^{2}) (a - b) + (c^{2} - b^{2}) (c - a) \\ = (a + b) {(a - b)}^{2} + (c + b) (c - b) (c - a) . \end{matrix}

Itt egyik tag sem negatív, mert sem az elsőben a különbség négyzete, sem a másodikban a különbségek nem negatívok, tehát

k \geq 0

k = 0

akkor és csak akkor teljesül, ha mindkét tag 0, tehát ha egyrészt

a - b = 0

, vagyis

a = b

, amivel a második tag 2. és 3. tényezője egyenlővé válik, másrészt e két tényező közös értéke is 0, tehát akkor és csak akkor, ha

a = b = c

Megjegyzések. 1. A feladat állítása könnyen következik Szűcs Adolf következő tételéből¹: legyen

x_{1} \geq x_{2} \geq ... \geq x_{n} \geq 0

y_{1} \geq y_{2} \geq ... \geq y_{n} \geq 0

, legyen továbbá

z_{1}

z_{2}

...

z_{n}

y_{1}

y_{2}

...

y_{n}

számok elrendezése tetszés szerinti sorrendben, akkor

\begin{matrix} x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + ... + x_{n} y_{n} \geq x_{1} z_{1} + x_{2} z_{2} + ... + x_{n} z_{n} \geq \\ \geq x_{1} y_{n} + x_{2} y_{n - 1} + ... + x_{n - 1} y_{2} + x_{n} y_{1} . \end{matrix}

Ebből feladatunk állítása így következik: Legyen

n = 3

, továbbá tegyük fel, továbbra is, hogy

a \leq b

a \leq c

. Ha

b \leq c

, legyen

x_{1} = c^{2}

x_{2} = b^{2}

x_{3} = a^{2}

y_{1} = c

y_{2} = b

y_{3} = a

z_{1} = a

z_{2} = c

z_{3} = b

. Ha pedig

b > c

, akkor legyen

x_{1} = b^{2}

x_{2} = c^{2}

x_{3} = a^{2}

y_{1} = b

y_{2} = c

y_{3} = a

z_{1} = c

z_{2} = a

z_{3} = b

. A fenti első egyenlőtlenség mindkét esetben a feladat állítását adja.

2. Az egyenlőtlenség helyessége belátható a számok nagyságviszonyára tett minden megszorítás nélkül is, pl. a következő azonosság alapján:

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} - a^{2} b - b^{2} c - c^{2} a = \\ = \frac{1}{3} [{(a - b)}^{2} (2 a + b) + {(b - c)}^{2} (2 b + c) + {(c - a)}^{2} (2 c + a)] . \end{matrix}

¹V. ö.: Hajós Gy.‐Neukomm Gy.‐Surányi J.: Matematikai versenytételek II. 2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. 44. o.