Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1964/december, 193. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Próbáljuk meg a négyzetgyök alatti különbségeket egy-egy különbség négyzetévé alakítani. Kézenfekvő egész számokból vont négyzetgyökök különbségére gondolni, tehát megpróbálni

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})}^{2} = a + b - 2 \sqrt[]{a b} = a + b - \sqrt[]{4 a b} \end{matrix}

alakra hozni az egyes gyökjelek alatti értékeket. Az első tag esetében ekkor

a + b = 7

a b = 48 / 4 = 12

kell hogy fennálljon, és ennek a 3, 4 számpár megfelel. Mivel a négyzetgyök pozitív értékét keressük, így

\begin{matrix} \sqrt[]{7 - \sqrt[]{48}} = \sqrt[]{{(\sqrt[]{4} - \sqrt[]{3})}^{2}} = 2 - \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Hasonlóan a második tag esetében az

a + b = 5

a b = 6

egyenletrendszer adódik; megoldása 2, 3, s így

\begin{matrix} \sqrt[]{5 - \sqrt[]{24}} = \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}; \end{matrix}

a harmadik tagnál pedig

a + b = 3

a b = 2

megoldása az 1, 2 számpár, s így

\begin{matrix} \sqrt[]{3 - \sqrt[]{8}} = \sqrt[]{2} - 1. \end{matrix}

Ezeket összeadva

\begin{matrix} \sqrt[]{7 - \sqrt[]{48}} + \sqrt[]{5 - \sqrt[]{24}} + \sqrt[]{3 - \sqrt[]{8}} = 2 - \sqrt[]{3} + \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2} + \sqrt[]{2} - 1 = 1. \end{matrix}

Megjegyzés. A fenti eljárással általában különbséggé alakítható egy

\sqrt[]{u \pm \sqrt[]{v}}

alakú kifejezés (ahol

u

v > 0

u^{2} > v

). Ez esetben az előbbi gondolatmenet az

a + b = u

4 a b = v

egyenletrendszerre vezet. Ennek a gyökei az

x^{2} - u x + v / 4 = 0

egyenletnek tesznek eleget, tehát az

(u \pm \sqrt[]{u^{2} - v}) / 2

értékek, így a

\begin{matrix} \sqrt[]{u \pm \sqrt[]{v}} = \sqrt[]{\frac{u + \sqrt[]{u^{2} - v}}{2}} \pm \sqrt[]{\frac{u - \sqrt[]{u^{2} - v}}{2}} \end{matrix}

azonossághoz jutunk.