Kezdőlap


Feladat:	1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1964/november, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Algebrai átalakítások, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 1964. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a$ , $b$ , $c$ értékek egyike sem lehet $0$ , különben az egyenletnek nem volna értelme. Így a törteket eltávolítva a következő, az eredetivel egyenértékű egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} (a + b) (c - x) b c - (b + c) (x - 2 c) a^{2} - (c + a) (c - 2 x) a b = \\ = (a + b) a c^{2} + 2 a^{2} b c . \end{matrix}

Ebből pedig a szokásos rendezési lépésekkel a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x (a^{2} b - a^{2} c + a b c - b^{2} c) = c (a^{2} b - a^{2} c + a b c - b^{2} c) . \end{matrix}

x

együtthatója nem

0

, akkor

x = c

.
Ha pedig

x

együtthatója

0

, akkor az egyenletnek bármely szám megoldása. Ez következik be a külön vizsgálandó esetben; az

a : b : c = 6 : 3 : 4

arányosság ugyanis azt jelenti, hogy alkalmas

u

értékkel

a = 6 u

b = 3 u

c = 4 u

, és ezt behelyettesítve

x

együtthatója, és a jobb oldal

0

lesz, ill. az eredeti egyenletbe helyettesítve a bal oldalon

x

kiesik, és mindkét oldal értéke

4

lesz; azonossághoz jutunk.