Feladat:	1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1964/január, 1 - 2. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Thalesz-kör, Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/szeptember: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A keresett mértani hely egy pontját a következőképpen szerkeszthetjük meg. Húzunk egy tetszőleges $k$ egyenest a $K$ ponton át, majd $L$-en át egy erre merőleges $l$ egyenest, metszéspontjuk legyen $C$. Ezután az $M$ ponton keresztül meghúzzuk a $k$-val ${45}^{\circ }$-os szöget bezáró $m_1$, $m_2$ egyeneseket. Az ábrán $m_1$ az óramutató járásával ellenkező irányban ${45}^{\circ }$-kal elforgatva jut $k$-ra, $m_2$ pedig megegyező irányú ${45}^{\circ }$-os forgatással. Messe $k$-t és $l$-et $m_1$ a $B_1$, ill. $A_1$ pontban, $m_2$ pedig $B_2$-ben, ill. $A_2$-ben. Ekkor $A_1{B}_{1}C$ és $A_2{B}_{2}C$ a feladat követelményeinek megfelelő egyenlő szárú derékszögű háromszögek. A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, ábránkon $A_1{B}_1$ felezőpontja $F_1$, $A_2{B}_2$ felezőpontja $F_2$, mindkettő hozzátartozik a keresett mértani helyhez. Azt keressük, milyen alakzatot ír le $F_1$ és $F_2$, míg $k$ a $K$ körül ‐ s így $l$ az $L$ körül, $m_1$ és $m_2$ pedig az $M$ körül ‐ egyszer körülfordul. Az átfogók felezőpontjait $A_1$ és $B_1$, ill. $A_2$ és $B_2$ kijelölése nélkül is megkaphatjuk, ugyanis $C$ a $KL$ szakasz fölé írt $t$ Thalesz‐körön van, $C{F}_i$ pedig ($i=1$, 2) ‐ egyenlő szárú háromszögről lévén szó ‐ felezi az $A_{i}C{B}_i$ szöget és merőleges $m_i$-re, tehát $F_i$-t $M$ merőleges vetülete adja a $k$, $l$ egyenespár megfelelő $f_i$ szögfelezőjén. E szögfelezők minden helyzetben felezik $t$-nek a szárak közé eső $KL$ félkörívét is, és így átmennek $t$-nek a $KL$-re merőleges $V_1{V}_2$ átmérője valamelyik végpontján (az ábrán $C{F}_1$ átmegy $V_1$-en, $C{F}_2$ pedig $V_2$-n. Ezért ‐ bármilyen is a $C$, $F_i$, $V_i$ pontok sorrendje ‐, mindig fennáll: $M{F}_{1}C\sphericalangle =M{F}_1{V}_1\sphericalangle ={90}^{\circ }$ és $M{F}_{2}C\sphericalangle =M{F}_2{V}_2\sphericalangle ={90}^{\circ }$. Így a $k$ különböző helyzeteihez tartozó $F_1$ pontok a $V_{1}M$, mint átmérő fölé rajzolt $t_1$ Thalesz‐körön vannak, az $F_2$ pontok pedig a $V_{2}M$ átmérő fölé rajzolt $t_2$ Thalesz‐körön. Hátra van még annak megvizsgálása, hogy a két utóbbi Thalesz‐kör minden pontja hozzátartozik-e a mértani helyhez. Legyen a $t_1$ kör egy $M$-től és $V_1$-től különböző pontja $X_1$, és kössük össze $X_1$-et $V_1$-gyel és $M$-mel. Ekkor $M{X}_1{V}_1\sphericalangle ={90}^{\circ }$; továbbá, miután $V_1$ rajta van a $t$ körön, az $X_1{V}_1$ egyenes e kört általában még egy $C$ pontban metszi. Így a $CK$, $CL$ és $X_{1}M$ egyenesek egy derékszögű egyenlő szárú háromszöget alkotnak, és e háromszög köré írt kör középpontja éppen a felvett $X_1$ pont. Ugyanis a $C{X}_1$ és $CK$ egyenesek kisebbik szöge ${45}^{\circ }$, mert az egyenesek között $t$-nek valamelyik $V_{1}K$ íve fekszik, vagyis a kör negyede vagy háromnegyede, így a $CK$-ra merőlegesen álló $CL$ egyszersmind tükrös párja is $CK$-nak $C{X}_1$-re, továbbá $X_{1}M$ önmagának tükörképe $C{X}_1$-re, hiszen merőleges rá; végül $X_1$ az így nyert háromszög átfogójának és szimmetriatengelyének közös pontja. ‐ $X_1$ gyanánt $V_1$ is vehető, ekkor $X_1{V}_1$ egyenes gyanánt az $X_{1}M=V_{1}M$ átmérőre emelt merőleges, $t_1$-nek $V_1$-beli érintője veendő, hasonlóan $X_1=M$ esetén az $M$-beli érintőt vesszük $X_{1}M$ gyanánt. ‐ Hasonlóan előfordulhat, hogy $X_1{V}_1$ a $t$ kört másodszor éppen $K$-ban, vagy $L$-ben metszi, ekkor az egyik befogó egyenese a $KL$ egyenes, a másiké pedig a talált metszéspontban $t$-hez húzott érintő. $C$ gyanánt adódhat maga $V_1$ is, ha ti. $X_1{V}_1$ éppen érinti a $t$ kört. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a $t_1$ kör minden pontja a mértani helyhez tartozik. Hasonlóképpen az $F_2$ pontok $t_2$ körének minden pontja ugyancsak hozzátartozik a mértani helyhez, mert meggondolásaink $V_1$ helyén $V_2$-vel változatlanul érvényesek. A keresett mértani hely tehát a $t_1$ és $t_2$ körökből áll.   Megjegyzés. Lehetséges, hogy az $ABC$ egyenlő szárú derékszögű háromszög ponttá zsugorodik össze, éspedig akkor és csak akkor, ha $C$ azonosnak adódik $X_1$-gyel, hiszen a szóban forgó körülírt kör sugara $X_{1}C$. Ilyen $X_1$ mindig van: $t$ és $t_1$-nek $V_1$-től különböző közös pontja, ill. ha $t$ és $t_1$ érintkeznek, akkor maga $V_1$.