Feladat: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1964/február, 49 - 50. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/szeptember: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsünk vázlatot, legyen ABC a keresett háromszög, az A csúcsnál levő α szög, az onnan induló sa súlyvonal és az A-ból kiinduló két oldal különbsége adottak. Jelöljük A-nak a BC oldal F felezőpontjára való tükörképét E-vel. Az ABEC négyszög paralelogramma, amelyben ismertek a szögek (az A-nál és E-nél levő α, a B-nél és C-nél levő 180∘-α), az AE átló (2sa) és a szomszédos oldalak különbsége. Az ACE háromszöget tekintve, abban ismert az AE oldal, a szemközti szög és az azt bezáró oldalak különbsége, így megszerkesztése a tankönyvből ismert alapfeladat: rámérve CE-re a CD=CA szakaszt az ACD háromszög egyenlő szárú, amiből ADE∢=180∘-α/2 adódik, ismert továbbá az ADE háromszögben két oldal: DE (a különbség) és AE=2sa.

 
 

Ezek után a szerkesztés menete a következő: Az előírt különbséggel egyenlő hosszú DE szakaszt húzunk, ezzel D-ben 180∘-α/2 szöget bezáró félegyenest szerkesztünk és ezt elmetsszük az E középpontú, 2sa sugarú körívvel: a metszéspont legyen A. Megszerkesztjük az AD szakasz felező merőlegesének és az ED egyenesnek C metszéspontját; végül vesszük C-nek az AE szakasz F felezőpontjára való B tükörképét.
Az ABC háromszög megfelel a feltételeknek. Ugyanis a tükrözés miatt F felezi a BC szakaszt, tehát AF az ABC háromszög súlyvonala, másrészt hossza sa. Az ECAB négyszög paralelogramma, AB párhuzamos CD-vel, ezért a BAD és CDA szögek egyenlők, ugyanis váltószögek, továbbá DAC∢=CDA∢, mert az ACD háromszög egyenlő szárú, így pedig BAC∢=BAD∢+DAC∢=2CDA∢=α. Végül AB-AC=CE-CA=CE-CD=DE, az előírt hosszúság.
Minthogy nyilvánvalóan 0∘<α<180∘, azért ADE∢=180∘-α/2>90∘, tehát ez a szög az ADE háromszög legnagyobb szöge. Így az ADE háromszög szerkeszthetőségének feltétele, hogy AE>ED legyen, azaz a keresett háromszög súlyvonalának kétszerese nagyobb legyen a szöget bezáró oldalak különbségénél. Másrészt α/2 hegyesszög, azért C mindenesetre létrejön éspedig valóban DE-nek D-n túli meghosszabbításán, amint a különbség képezésében felhasználtuk. Végül B mindig létrejön, ezért a feladatnak a mondott feltétel teljesülése esetén 1 megoldása van.