Kezdőlap


Feladat:	1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/november, 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/november: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldalon elvégezve a négyzetreemelést, a keletkező 9 négyzetes tag és 9 kettős szorzat így csoportosítható:

\begin{matrix} a^{2} (p^{2} + q^{2} + r^{2}) + b^{2} (p^{2} + q^{2} + r^{2}) + c^{2} (p^{2} + q^{2} + r^{2}) + & (5) \\ + 2 a b (p q + q r + r p) + 2 b c (p q + q r + r p) + 2 c a (p q + q r + r p) . \end{matrix}

A feltételi egyenlőségekből meghatározzuk a

p^{2} + q^{2} + r^{2}

négyzetösszeg és a

p q + q r + r p

szorzatösszeg értékét. Miután (3) értelmében

p

q

és

r

egyike sem nulla, (3)-at végigszorozhatjuk

p q r

-rel:

\begin{matrix} q r + r p + p q = 0. \end{matrix}

(6)

Továbbá emeljük négyzetre (2)-t:

\begin{matrix} p^{2} + 2 p q + q^{2} + 2 p r + 2 q r + r^{2} = 1. \end{matrix}

Ámde a bal oldalon a kettős szorzatok összege (6) szerint

0

, így

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} + r^{2} = 1. \end{matrix}

(7)

(6) és (7) értékét behelyettesítve (5)-be, ott a négyzetes tagok együtthatója

1

, a kettős szorzatok pedig kiesnek, és így a kifejezés azonosan egyenlő (4) bal oldalával.