Feladat: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1963/november, 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/november: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A törteket közös nevezőre hozzuk és összeadjuk. Elvégezve a lehetséges összevonásokat nyerjük, hogy

1a-b+1b-c+1c-a=ab+bc+ca-a2-b2-c2(a-b)(b-c)(c-a).
A jobb oldali tört számlálója ilyen alakban írható:
-12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].
A szögletes zárójelben a négyzetösszeg pozitív, tehát maga a számláló negatív. De a nevező első két tényezője pozitív, a harmadik negatív, ezért a nevező szintén negatív, így a tört értéke pozitív.
 
II. megoldás. Az a>b>c kikötés miatt az első két tört pozitív, a harmadik negatív. A harmadik tört nevezőjének abszolút értéke a-c=(a-b)+(b-c), az első két nevező összege; eszerint reciproka, vagyis a harmadik tag abszolút értéke kisebb 1a-b és 1b-c mindegyikénél, még inkább kisebb e két tört összegénél.