Kezdőlap


Feladat:	1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Paralelogrammák, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/október: 1963. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő az $A B C D$ és az $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ négyszög egy-egy megfelelő oldalának, pl. az $A B$ és $A_{1} B_{1}$ oldalnak az $E$ és $E_{1}$ felezőpontját összekötő szakaszról kimutatni, hogy az első négyszögnek a sorrendben következő, azaz a $B C$ oldalával való $F$ metszéspontja mindkét szakaszt felezi, hiszen ekkor $F$ a $B C$ oldal felezőpontja, és $E_{1}$ az $E$ -nek erre vonatkozó tükörképe.

A két szakasz akkor és csak akkor felezi egymást, ha a

B E C E_{1}

négyszög paralelogramma. Ez viszont igaz, mert az

E_{1} C

szakasz az

A_{1} B_{1} B

háromszög középvonala, így párhuzamos az

A_{1} B

szakasszal és fele akkora. Ugyanekkora az

A_{1} B

szakasz meghosszabbítását képező

B E

szakasz is, mert

A_{1} B

A B

szakasz tükörképe. Így

B E

és

E_{1} C

egy irányban párhuzamosak és egyenlők, tehát

B E C E_{1}

valóban paralelogramma. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.