Keressük a pozitív egész megoldásokat. Jelöljük a keresett két szám legkisebb közös többszörösét $t$-vel, a legnagyobb közös osztót $d$-vel. A legkisebb közös többszörös osztható a számok mindegyikével, s így legnagyobb közös osztójukkal is, tehát a $t-d$ különbség, ami a feladat feltétele szerint 19, osztható $d$-vel. Mivel 19 prímszám, (pozitív) osztója csak 1 és 19, csak ezek jönnek tehát tekintetbe $d$ gyanánt.
Ha $d=1$, akkor $t=1+19=20$ a két keresett szám legkisebb közös többszöröse, és a számok relatív prímek, így a legkisebb közös többszörösük a szorzatuk. 20 két egymáshoz relatív prím tényezőre való felbontásai (a tényezők sorrendjétől eltekintve) $1\cdot 20$ és $4\cdot 5$, tehát $1$, $20$ és $4$, $5$ két megfelelő számpár.
Ha $d=19$, akkor $t=38$, így a két szám $19$ többszöröse és $38$ osztója, tehát $19$ vagy $38$. A két szám nem lehet egyenlő, mert akkor $t-d=0$ lenne, a $19$, $38$ számpár viszont megfelel a feladat feltételeinek. ‐ Így 3 pozitív egészekből álló számpár elégíti ki a feladat követelményeit.
Ha negatív egészeket is tekintetbe veszünk, akkor azok a számpárok felelnek meg, amelyek a fentiekből az egyik, vagy mindkét szám előjelének a megváltoztatásával keletkeznek, ugyanis egy számnak és a negatívjának ugyanazok a többszörösei és ugyanazok az osztói. Így két számnak a legkisebb közös többszöröse és legnagyobb közös osztója ugyanaz, mint a két szám abszolút értékéé.