Kezdőlap


Feladat:	1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} 105 (x + y) = 120 (y + z) = 168 (z + x) = x y z . \end{matrix}

(1)

I. megoldás. Az adott 4 tagú egyenlőségsorozat bármely két tagja egyenlő kell, hogy legyen. Pl. az első kifejezés egyenlőségét írva fel a többi hárommal, két elsőfokú egyenletet kapunk és az ismeretlenek szorzata csak egy egyenletben lép fel:

\begin{matrix} 105 (x + y) = 120 (y + z), & (2) \\ 105 (x + y) = 168 (z + x), & (3) \\ 105 (x + y) = x y z . & (4) \end{matrix}

(Ezekből a jobb oldalak egyenlősége már következik.)
Fejezzük ki az első két egyenletből

y

-t és

z

-t

x

-szel. Osszuk (2)-t 15-tel, (3)-at 21-gyel és vonjuk ki az utóbb kapott egyenletet az előbbiből. Így

z

kiesik:

\begin{matrix} 7 (x + y) - 5 (x + y) = 8 (y + z) - 8 (z + x) = 8 (y - x), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = \frac{15 x}{3} . \end{matrix}

(5)

Ennek alapján (2)-ből

\begin{matrix} z = \frac{7}{8} (x + y) - y = \frac{7}{8} \cdot \frac{8 x}{3} - \frac{5 x}{3} = \frac{2 x}{3} . \end{matrix}

(6)

Ezeket (4)-be helyettesítve rendezés után

\begin{matrix} 105 \cdot \frac{8 x}{3} - \frac{10 x^{3}}{9} = 0, x (7 \cdot 4 \cdot 9 - x^{2}) = 0, \end{matrix}

és ennek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt[]{7 \cdot 4 \cdot 9} = 6 \sqrt[]{7}, x_{3} = - 6 \sqrt[]{7} . \end{matrix}

y

és

z

megfelelő értékei (5), ill. (6) alapján:

\begin{matrix} y_{1} = 0, y_{2} = 10 \sqrt[]{7}, y_{3} = - 10 \sqrt[]{7}, \\ z_{1} = 0, z_{2} = 4 \sqrt[]{7}, z_{3} = - 4 \sqrt[]{7} . \end{matrix}

Mindhárom értékhármas kielégíti az egyenletrendszert.

II. megoldás. Egyszerűen jutunk célhoz akkor is, ha (1)-ből úgy írunk fel három független egyenletet, hogy az első három kifejezést külön-külön a negyedikkel tesszük egyenlővé, majd a fentiekhez némileg hasonlóan mindhárom ismeretlent kifejezzük az

x y z = p

szorzattal, és először

p

-t számítjuk ki. A mondott egyenletekből mindjárt osztással:

\begin{matrix} x + y & = \frac{p}{105}, \\ y + z & = \frac{p}{120}, \\ x + z & = \frac{p}{168} . \end{matrix}

Az első kettő összegéből a harmadikat kivonva

\begin{matrix} 2 y = \frac{p}{105} + \frac{p}{120} - \frac{p}{168} = \frac{p}{840} (8 + 7 - 5) = \frac{p}{84}, \\ y = \frac{p}{168}, és hasonlóan z = \frac{p}{420}, x = \frac{p}{280} . \end{matrix}

Most már szorzással

\begin{matrix} \frac{p}{420} \cdot \frac{p}{168} \cdot \frac{p}{280} = p, p (p^{2} - 15 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 28^{3}) = 0, \end{matrix}

amiből, a zárójelbeli kivonandó

15 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 28^{2} \cdot 2^{2} \cdot 7

alakjával

\begin{matrix} p_{1} = 0 p_{2} = 1680 \sqrt[]{7}, p_{3} = - 1680 \sqrt[]{7}, \end{matrix}

és így a fenti kifejezésekkel ismét az

\begin{matrix} x, y, z = {\begin{matrix} 0, & 0, & 0, \\ 6 \sqrt[]{7}, & 10 \sqrt[]{7}, & 4 \sqrt[]{7}, \\ 6 \sqrt[]{7}, & - 10 \sqrt[]{7}, & - 4 \sqrt[]{7} \end{matrix} \end{matrix}

gyökrendszereket kapjuk.