Kezdőlap


Feladat:	1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1963/február, 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a keresett sebesség $v$ km/óra, az $A B$ útszakasz hossza $x$ km, és jelölje $C$ azt a pontot, amelyből az ember megpillantja a vonatot. Ekkor $C A = x / 3$ , $C B = 2 x / 3$ , és az ezen utak megtételéhez szükséges idők $x / 3 v$ óra, ill. $2 x / 3 v$ óra. Ugyanennyi idő alatt ér a vonat is a megpillantáskor volt helyzetéből $A$ -ba, $B$ -be, ezért a vonatnak az $A B$ út megtételéhez szükséges ideje e két idő különbsége: $x / 3 v$ óra. Ez az idő a vonat sebességével kifejezve $x / 30$ , így a két kifejezés egyenlőségéből $v = 10$ . Emberünk maximálisan 10 km/óra sebességgel tud futni.

II. megoldás. A feladat egyenlet nélkül is megoldható. Mire az ember

C

-ből eljut

A

-ba, addigra a vonat is

A

-ba ér. Így ha az ember

B

felé fut, az alatt az idő alatt, amíg a vonat

A

-ba ér, ő ugyanakkora távolságot tesz meg, mint amennyire

C

A

-tól van, vagyis az

A B

út harmadát. Ezért

B

-ig már az út

2 / 3

részét megtette, csak az

1 / 3

rész van hátra. Mialatt ezt a harmadot megteszi, a vonat

A

-ból

B

-be jut, vagyis megteszi az egész

A B

távolságot. Így az ember sebessége a vonat sebességének harmadrésze, azaz 10 km/óra.

Megjegyzések. 1. A megoldásból nem adódik ki a tekintetbe vett útszakaszok hossza. A közölt egyetlen összefüggés csak a keresett ismeretlen meghatározására elegendő.
2. Az viszont kiderül a feladat feltételeiből ‐ és ez is felhasználható a megoldáshoz ‐, hogy a vonat a megpillantáskor (az ábrán

D

) annyira van

A

-tól, mint

A

van

B

-től, hiszen az utas

B

-ig futva kétannyi utat tesz meg, mint ha

A

-ba fut, így a vonat

B

-ig, ill.

A

-ig megtett útjai közt is ez az arány.