I. megoldás. Az állítást fogalmazhatjuk szimmetrikusabban a következő módon: vagy $p$ és $8p-1$ közül legalább az egyik összetett szám, vagy $8p+1$ összetett szám; még szimmetrikusabban: a $p$, $8p-1$ és $8p+1$ számok közül legalább az egyik összetett. Vizsgáljuk $p$-t a 3-mai való osztás maradéka szempontjából. Ekkor $p$ vagy 1-et vagy 2-t ad maradékul, vagy osztható 3-mal, azaz vagy $3n+1$, vagy $3n+2$, vagy $3n$ alakú. Az első esetben $8p+1=24n+9=3\left(8n+3\right)$ összetett szám, mert $8n+3>1$; a másodikban $8p-1=24n+15=3\left(8n+5\right)$ osztható 3-mal és nagyobb mint 3; ha pedig $p=3n$, akkor 1-re összetett, $n=1$ ($p=3$) esetén pedig $8p+1=25$ összetett szám. Ezzel az állítást igazoltuk.