Kezdőlap


Feladat:	1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1962/november, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1962/szeptember: 1962. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Elegendő megmutatnunk, hogy (1) bal és jobb oldalának különbsége pozitív. A különbség így írható:

\begin{matrix} K = (a - 2 \sqrt[]{a b} + b) + (1 - \sqrt[]{a b}) = {(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})}^{2} + (1 - \sqrt[]{a b}) . \end{matrix}

Az első tag nem negatív, a második pedig pozitív, ugyanis a feltevés miatt

a b

és vele a négyzetgyöke is 1-nél kisebb. Így

K

valóban pozitív.

II. megoldás. A három nem negatív szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenség¹ szerint

\begin{matrix} \frac{1 + a + b}{3} > \sqrt[3]{a b}, \end{matrix}

mivel esetünkben nem lehet a három szám egyenlő. Másrészt megmutatjuk, hogy a jobb oldal nagyobb, mint

\sqrt[]{a b}

. Valóban

\begin{matrix} \sqrt[3]{a b} = \frac{\sqrt[3]{a b}}{\sqrt[]{a b}} \cdot \sqrt[]{a b} = {(a b)}^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \cdot \sqrt[]{a b} = {(a b)}^{- \frac{1}{6}} \cdot \sqrt[]{a b} = \frac{1}{\sqrt[6]{a b}} \cdot \sqrt[]{a b} > \sqrt[]{a b}, \end{matrix}

mert az első tényező nevezőjében 1-nél kisebb szám áll.

¹Lásd pl. Kürschák‐Hajós‐NEUKOMM-Surányi: Matematikai versenytételek I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1955, 111. o.; vagy Hódi: Szélső értékfeladatok elemi megoldása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1959, 20. o.