A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 3. feladat. Az négyszög , , és oldalainak felező merőlegesei legyenek rendre ,,'', , és ; az , , és egyenesek metszéspontjait pedig jelöljük , , , -vel. Mutassuk ki, hogy ha az ,,'', , és egyenesek metszik egymást, és nem egy ponton mennek át, akkor az és egyenesek merőlegesek az eredeti négyszög átlóira.
Megoldás. Az , , és oldalfelező merőlegesek közül már három sem mehet át egy ponton. Ha ugyanis három egy ponton menne át, akkor ez a metszéspont egyenlő távol lenne az , , és pontok mindegyikétől, ezért a negyedik oldal felező merőlegese is átmenne rajta. Ezt az esetet pedig a feladat kizárja. Az , , és tehát négy különböző pont.
Az pont az háromszög és oldalai felező merőlegesének metszéspontja, ezért az oldal felező merőlegese is átmegy rajta. Ugyanígy az háromszög és oldalai felező merőlegesének metszéspontja, tehát rajta van az oldal felező merőlegesén is. E két háromszög közös oldala az eredeti négyszögnek egyik átlója, tehát az és pontok által meghatározott egyenes éppen az átló felező merőlegese. Ugyanígy adódik ‐ az , , , betűk szerepét rendre , , , -nak adva át ‐, hogy a egyenes a átló felező merőlegese. Ezzel a feladat állításánál többet mutattunk meg: az és egyenesek nemcsak merőlegesek az négyszög átlóira, hanem felezik is azokat. |