Kezdőlap


Feladat:	1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1962/január, 8 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Világos, hogy egyik ismeretlen sem lehet 0, másrészt, mivel az (1) egyenlet bal oldalán $y$ kitevője páros, $x$ -é és $z$ -é páratlan, így $x$ és $z$ egyező előjelű (ugyanez olvasható le (3)-ból is). Ugyanígy következik (2)-ből (vagy (4)-ből), hogy $y$ és $u$ is egyező előjelű.
Az egyenletek hasonló szerkezetét kihasználhatjuk azáltal, hogy összeszorozzuk őket, így mindegyik ismeretlen kitevője egyenlő lesz.

\begin{matrix} x^{6} y^{6} z^{6} u^{6} = 2 \cdot 8 \cdot 32 \cdot 8 = 2^{12} . \end{matrix}

Ebből hatodik gyököt vonva, mivel az ismeretlenek szorzata az előjelekre tett megállapítások szerint pozitív, kapjuk, hogy

\begin{matrix} x y z u = 2^{2} = 4. \end{matrix}

(5)

(2)-t (1)-gyel osztva

\begin{matrix} \frac{y z u}{x^{3}} = 4, \end{matrix}

(6)

és ezzel (5)-öt osztva

\begin{matrix} x^{4} = 1, amiből x = \pm 1. \end{matrix}

Hasonlóan lehet kiszámítani a többi ismeretlent: (5)-öt előbb (3) és (2) hányadosával osztva

y = \pm 1

, majd (4) és (3), végül pedig (1) és (4) hányadosával osztva

z = \pm 2

, ill.

u = \pm 2

.
A fentiekből azt is látjuk, hogy az

x

z

és

y

u

ismeretlen-párok előjelei függetlenek egymástól, azért megoldást a következő négy értékrendszer szolgáltathat:

\begin{matrix} x_{1} = 1, & z_{1} = 2, & y_{1} = 1, & u_{1} = 2; \\ x_{2} = 1, & z_{2} = 2, & y_{2} = - 1, & u_{2} = - 2; \\ x_{3} = - 1, & z_{3} = - 2, & y_{3} = 1, & u_{3} = 2; \\ x_{4} = - 1, & z_{4} = - 2, & y_{4} = - 1, & u_{4} = - 2. \end{matrix}

A próba mutatja, hogy mindegyik kielégíti az egyenletrendszert. Ezzel feladatunkat megoldottuk.

Megjegyzések. 1. Ugyancsak egyszerű a kiküszöbölés, ha (2) és (3) szorzatát osztjuk (1) és (4) szorzatával, ill. (3) és (4) szorzatát osztjuk (1) és (2) szorzatával

\begin{matrix} \frac{x y^{3} z^{5} u^{3}}{x^{5} y^{3} z u^{3}} = {(\frac{z}{x})}^{4} = \frac{8 \cdot 32}{2 \cdot 8} = 16, ill. {(\frac{u}{y})}^{4} = 16, \end{matrix}

amiből ‐ az előjelekről tett észrevétel alapján ‐

\begin{matrix} z = 2 x, u = 2 y . \end{matrix}

Így pedig (1) és (2)-ből

\begin{matrix} x^{4} y^{2} = x^{2} y^{4} = 1, {(\frac{x}{y})}^{2} = 1, y = \pm x . \end{matrix}

2. Kézenfekvő az (1) ‐ (4) egyenletek két oldalának logaritmusát venni, így ugyanis az ismeretlenek logaritmusaira elsőfokú egyenletrendszert kapunk. Minthogy a jobb oldalon 2-nek pozitív egész kitevős hatványai állnak, célszerű a 2-alapú logaritmusok egyenlőségét felírni.

\begin{matrix} ^{2} log x = X,^{2} log y = Y,^{2} log z = Z,^{2} log u = U -val \end{matrix}

(7)

\begin{matrix} 3 X + 2 Y + Z = 1, & (1^{*}) \\ 3 Y + 2 Z + U = 3, & (2^{*}) \\ 3 Z + 2 U + X = 5, & (3^{*}) \\ 3 U + 2 X + Y = 3. & (4^{*}) \end{matrix}

Lényegesen különböző megoldásokhoz így sem jutunk, csak szorzás-osztás helyett összeadást ill. kivonást, hatványozás-gyökvonás helyett pedig szorzást-osztást kell ekkor végeznünk. Másrészt viszont így csak pozitív megoldást kaphatunk.
Több versenyző próbálkozott ilyen megoldással, de 10 alapú logaritmusokat használtak és a jobb oldalakat négy tizedes jegyű közelítő értékeikkel helyettesítették.