Kezdőlap


Feladat:	1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1962/január, 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a futók sebessége sorban $u$ , $v$ és $w$ , a pálya kerülete $k$ , a keresett idő pedig, ahány perc alatt a harmadik futó lekörözte a másodikat, $x$ . Akkor a megtett utakra a következő egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} 6 u & = 6 v + k, & vagyis & 6 u - 6 v - k = 0, & (1) \\ 10 u & = 10 w + k, & vagyis & 10 u - 10 w - k = 0, & (2) \\ x w & = x v + k, & vagyis & x w - x v - k = 0. & (3) \end{matrix}

Az (1) egyenletet

5 x

-szel, (2)-t

3 x

-szel, (3)-at 30-cal szorozva

u

v

és

w

szorzója mindegyik egyenletben

30 x

vagy

- 30 x

lesz:

\begin{matrix} 30 x u - 30 x v - 5 x k & = 0, & (4) \\ 30 x u - 30 x w - 3 x k & = 0, & (5) \\ 30 x w - 30 x v - 30 k & = 0. & (6) \end{matrix}

(5) és (6) összegéből kivonva (4)-et

u

v

és

w

kiesik:

\begin{matrix} 2 x k - 30 k = 0. \end{matrix}

Minthogy

k \neq 0

, ebből

x = 15

. Tehát a harmadik futó 15 perc alatt körözte le a másodikat.

II. megoldás. A feladatot sok másféle módon is megoldhatjuk, kevesebb ismeretlennel is, mint az I. megoldásban, sőt egyenlet nélkül is.
Képzeljük, hogy a futók változatlan sebességgel tovább futnak. Az első a másodikat minden 6 perc elteltével, a harmadikat minden 10 perc elteltével lekörözi, tehát fél órával az indulás után az első éppen 5 körrel futott többet, mint a második, és 3 körrel futott többet, mint a harmadik (tehát mindhárman a pálya ugyanazon pontján vannak). Így hát a harmadik futó fél órával az indulás után

5 - 3 = 2

körrel futott többet, mint a második. Ebből következik, hogy negyedóránkint (15 percenként) körözte le a másodikat.

Megjegyzés. Az adatokból az

u

v

w

és

k

ismeretlenek nem is számíthatók ki, még az arányuk sem.