A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az háromszög oldalegyenese a beírt és az középpontú hozzáírt kör egyik közös belső érintője. Jelöljük e két kör másik közös belső érintőjét -vel. Az egyenes érinti a másik két hozzáírt kört is, mint e körök közös külső érintője. Jelöljük ennek a két körnek a másik közös külső érintőjét -vel. Bebizonyítjuk, hogy .
Két kör együttesen tükrös a középpontjukon át húzott egyenesre, a két kör úgynevezett centrálisára. Ebből következik, hogy két kör közös belső érintői, és ugyanúgy közös külső érintői is tükrösek a két kör centrálisára. Így pl. az oldal tükörképe az centrálisra vonatkozóan, -nak az centrálisra vonatkozó tükörképe pedig . Eszerint az egyenest két különböző tengelyre vonatkozó egymás utáni tükrözés átviszi az egyenesbe. Tudjuk viszont, hogy két egymást metsző egyenesre való tükrözés együttesen egy olyan elforgatást eredményez, amelynek a szöge a tükörtengelyek egymással alkotott szögének kétszerese, és a forgatás középpontja a két tengely metszéspontja. Az egyik tükörtengely , a és egyenesek egyik szögfelezője, a másik , ugyanennek az egyenespárnak a másik szögfelezője. A két szögfelező, mint tudjuk, merőleges egymásra. Tehát az egyenest két egymásra merőleges egyenesre való tükrözés, vagyis az pont körüli -os elforgatás viszi át az egyenesbe, és így csakugyan . Hasonló jelöléssel és gondolatmenettel következik az is, hogy és .
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használjuk. Jelöljük továbbá és metszéspontját -vel, és metszéspontját -vel, és , ill. és metszéspontját -vel, ill. -vel. A szimmetria miatt egyenlő szárú trapéz, tehát húrnégyszög, és így . Ugyanezt mondhatjuk a négyszögről is. Ennélfogva . Ezek szerint , és így . |