Feladat: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1962/január, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Transzformációk szorzata, Trapézok, Húrnégyszögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ABC háromszög a oldalegyenese a beírt és az Oa középpontú hozzáírt kör egyik közös belső érintője. Jelöljük e két kör másik közös belső érintőjét a'-vel. Az a egyenes érinti a másik két hozzáírt kört is, mint e körök közös külső érintője. Jelöljük ennek a két körnek a másik közös külső érintőjét a''-vel. Bebizonyítjuk, hogy a'∥a''.

 




 

Két kör együttesen tükrös a középpontjukon át húzott egyenesre, a két kör úgynevezett centrálisára. Ebből következik, hogy két kör közös belső érintői, és ugyanúgy közös külső érintői is tükrösek a két kör centrálisára. Így pl. a' az a oldal tükörképe az OOa centrálisra vonatkozóan, a-nak az ObOc centrálisra vonatkozó tükörképe pedig a''. Eszerint az a' egyenest két különböző tengelyre vonatkozó egymás utáni tükrözés átviszi az a'' egyenesbe. Tudjuk viszont, hogy két egymást metsző egyenesre való tükrözés együttesen egy olyan elforgatást eredményez, amelynek a szöge a tükörtengelyek egymással alkotott szögének kétszerese, és a forgatás középpontja a két tengely metszéspontja. Az egyik tükörtengely OOa, a b és c egyenesek egyik szögfelezője, a másik ObOc, ugyanennek az egyenespárnak a másik szögfelezője. A két szögfelező, mint tudjuk, merőleges egymásra. Tehát az a' egyenest két egymásra merőleges egyenesre való tükrözés, vagyis az A pont körüli 180∘-os elforgatás viszi át az a'' egyenesbe, és így csakugyan a'∥a''.
Hasonló jelöléssel és gondolatmenettel következik az is, hogy b'∥b'' és c'∥c''.
 

II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használjuk. Jelöljük továbbá a' és b metszéspontját B'-vel, a' és c metszéspontját C'-vel, a'' és b, ill. a'' és c metszéspontját B''-vel, ill. C''-vel. A szimmetria miatt BC'CB' egyenlő szárú trapéz, tehát húrnégyszög, és így BC'B'∢=BCB'∢. Ugyanezt mondhatjuk a BCC''B'' négyszögről is. Ennélfogva BCB''∢=BC''B''∢. Ezek szerint BC'B'∢=BC''B''∢, és így a'∥a''.