Feladat: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1961/november, 97 - 98. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Középpontos tükrözés, Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az adott magasság mc, a súlyvonal sb, A C csúcsot az α szög AB=c szárától mc távolságra haladó d párhuzamos metszi ki a másik szárból. Az AC oldal F felezőpontjából sb sugárral rajzolt kör kimetszi az α szög c szárából a B csúcsot.

 
 

A feladat megoldhatóságának eleve feltétele, hogy 0<α<180∘ legyen. Így C mindig egyértelműen szerkeszthető. A feladatnak 1, 2, 1, vagy 0 megoldása van aszerint, hogy a használt körív az α szög másik szárát 1, vagy 2 pontban metszi, vagy érinti, vagy nem is érinti. Az F pont merőleges vetületét AB-n F'-vel jelölve α<90∘ mellett az említett négy eset valamelyike aszerint áll fenn, hogy
sb≧FA,FA>sb>FF',sb=FF',sb<FF'(FF'=mc/2).
Ha α≧90∘, akkor legfeljebb 1 megoldás van, sb>FA mellett.
 

II. megoldás. B-nek F-re vett B1 tükörképe a C-n át AB-vel párhuzamos d egyenesen van. Ebből adódik a következő szerkesztés.
Felveszünk két egymástól mc távolságra fekvő c és d párhuzamost és c-n a B csúcsot. A B-körüli 2sb sugarú körívvel d-ből kimetsszük B1-et. BB1-nek F felezőpontja és a B pont alkotta szakasz A-ból α szög alatt látszik, tehát az A csúcs a c egyenes és a BF fölé rajzolt α nyílású látószögkörívpár metszéspontja. Végül A tükörképe F-re C.
Ha 2sb<mc, akkor B1 nem szerkeszthető, a feladatnak nincs megoldása. Ha 2sb≧mc, akkor 2, 1, vagy 0 a megoldások száma aszerint, hogy a BF fölé rajzolt két körív mindegyike metszi c-t a B-től különböző pontban, vagy csak egyikük, vagy egyikük sem.