Kezdőlap


Feladat:	1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1961/november, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/szeptember: 1961. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletnek nincs értelme, ha valamelyik nevező 0; feltesszük tehát, hogy $p \neq 0$ , $q \neq 0$ , és nem fogadunk el olyan $p$ , $q$ számpárt, amelyből $p x - 1 = 0$ , $q x - 1 = 0$ , vagyis $p x = 1$ , $q x = 1$ adódik. A nevezők szorzatával szorozva

\begin{matrix} p^{2} (q x - 1) (p x - 1) - p^{2} q x (p x - 1) = q^{2} (q x - 1) (p x - 1) - p q^{2} x (q x - 1) . \end{matrix}

A zárójelek felbontása, rendezés és összevonás után

x

-re elsőfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} (p^{3} - q^{3}) x = p^{2} - q^{2} . \end{matrix}

p = q

, akkor ez az egyenlet ‐ és természetesen az eredeti is ‐ minden

x

-re teljesül, nincs határozott, egyértelmű megoldás. Ha

p \neq q

, akkor

p^{3} - q^{3} \neq 0

-val osztva és

p - q

-val egyszerűsítve:

\begin{matrix} x = \frac{p + q}{p^{2} + p q + q^{2}} . \end{matrix}

Ezzel az egyenletet megoldottuk. Látható, hogy

\begin{matrix} p x = \frac{p^{2} + p q}{p^{2} + p q + q^{2}} = 1 \end{matrix}

csak

q = 0

mellett,

q x = 1

pedig csak

p = 0

mellett következnék be. Ezeket már kizártuk, tehát az egyenletnek mindig van határozott gyöke, ha

p \neq 0

q \neq 0

, és

p \neq q