Feladat: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1960/november, 105 - 106. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/szeptember: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyításban az ábra jelöléseit vesszük alapul; csak az ott egy, ill. két ívvel jelölt szögekről lesz szó, ezért elég lesz a szögeket a csúcsuknál levő betűvel jelölni.

 

 

Be kell bizonyítanunk, hogy az A, B, és O ponton átmenő kör átmegy a P ponton is. Mint tudjuk (a kerületi szögekre vonatkozó tétel és megfordítása alapján) ez akkor és csak akkor igaz, ha O∢=P∢. De O∢=2C∢, tehát elég azt bizonyítanunk, hogy P∢=2C∢. P∢ viszont a PBC háromszög egyik külső szöge, tehát elég azt belátnunk, hogy C∢=B∢. Ez azonban nyilvánvaló, hiszen az ötszög szabályos, és így az AB^ és CD^ ívek, amelyeken ezek a szögek nyugszanak, egyenlők. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

Megjegyzések. 1. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár a bizonyítandó állításból indultunk ki, a továbbiakban nem azt vizsgáltuk, hogy ebből az állításból mi következik, hanem azt, hogy mi az, amiből ez következik.
2. Az ötszög szabályos voltából csak annyit használtunk ki a bizonyításban, hogy AB^ és CD^ a körnek két egyenlő, közös pont nélküli, egyező irányítású íve. Sőt, a bizonyítás kis módosítással kiterjeszthető arra az esetre is, amikor a két ívnek van közös pontja, akár közös ívdarabja is; csak azt kell kikötnünk, hogy az A, B, C és D pontok közül legalább három különböző legyen, mert különben AC és BD egy egyenesbe esik, és így metszéspontjukról nem beszélhetünk. Igaz tehát a következő állítás:
Ha AB^ és CD^ az O középpontú körnek két egyenlő és egyező irányítású íve (vagyis ha A-ból ugyanakkora abszolút értékű és ugyanolyan irányú forgás visz B-be, mint C-ből D-be), akkor az AC és a BD egyenes metszéspontja ‐ ha létezik ‐ rajta van az A, O és B pontokon átmenő kör kerületén.