A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Néhány esetben az állítást könnyen igazolni tudjuk úgy, hogy elvégezzük a négyzetre emelést (akár csak szorzással is), az eredményt ,,kettévágjuk'', és mindkét részéből négyzetgyököt vonunk. Például: | | A feladat állítása tehát azokban az esetekben, amikor egy vagy két 9-et és 0-t iktattunk közbe, helyes. Ezekből az esetekből úgy sejtjük, hogy a szóban forgó számok négyzetének két része nemcsak négyzetszám, (ami a feladat egyik állítása), hanem pontosan az első rész éppen a szóban forgó számok első felének négyzete, második részük pedig az eggyel több -esből álló szám négyzete, mint ahány -est közbeiktattunk. Így van-e ez mindig ? Képzeljük el, hogy darab 9-est és utána darab 0-t iktattunk a 4 és az 1 közé, ahol bármely természetes szám. Így | | Az összeg első tagjáról láthatjuk, hogy darab 0-ra végződik, és ezek előtt is van jegy, amelyek egybeolvasva éppen -nek a négyzetét adják. A megmaradó kéttagú összegről be akarjuk látni, hogy -nel egyenlő. Ebből az is következni fog, hogy ez a szám csak jegyű (hiszen az első jegyű szám -nek a négyzete, ), tehát nem nyúlik bele az előtte levő számba. A feladat megoldásához tehát csak annak igazolása hiányzik, hogy | | A jobb oldalon álló számot így írhatjuk: vagyis azaz Ez pedig csakugyan egyenlő a bal oldali számmal. Megjegyzés. A bizonyítást persze úgy is végezhettük volna, ha mindjárt az elején felírjuk algebrai alakban az darab 9-es és darab 0 közbeiktatásával kapott szám négyzetét: elvégezzük a négyzetre emelést: | | az összeg első tagjáról megállapítjuk, hogy négyzetszám, -nek a négyzete, és a végén darab 0 van, a másik két tag összegéről pedig ‐ úgy mint az előbb ‐ megállapítjuk, hogy szintén négyzetszám, -nek a négyzete, és mivel jegyből áll, nem nyúlik bele az előtte álló négyzetszámba, jegyei csak a 0-kkal adódnak össze. A bizonyítás általánossága azonban az előbb elmondott formában sem szenvedett csorbát, a kevesebb algebrai jelölés mögött jobban el lehet képzelni magukat a tízes számrendszerben felírt számokat. |