Feladat: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1960/október, 55 - 56. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/október: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szimmetria érdekében jelöljük az öt egymás után következő egész szám közül a középsőt a-val, ekkor a feladat annak igazolása, hogy az

S=(a-2)2+(a-1)2+a2+(a+1)2+(a+2)2=5(a2+2)
szám osztható 5-tel, de 25-tel nem osztható.
a és azért a2+2 is egész és S első tényezője 5, ezért S osztható 5-tel. S akkor és csak akkor lenne 25-tel is osztható, ha a második tényezője, a2+2 is osztható volna 5-tel. Evégett a2+2-nek vagy 0-ra, vagy 5-re kellene végződnie, tehát a2 végződése 8, vagy 3 lenne. Négyzetszám azonban sem 8-ra, sem 3-ra nem végződhet, ezért a2+2 sem végződhet 0, vagy 5-re, tehát 5-tel nem lehet osztható a semmilyen egész értéke mellett sem, és így S nem osztható 25-tel.
 

Megjegyzés: Elkerülhetjük a négyzetszámok lehetséges végződéseire történő hivatkozást, ha megvizsgáljuk az a2+2 kifejezés 5-tel való oszthatóságát minden 5-tel való oszthatóság szempontjából különböző a mellett. Ezek a következők:
a=5b (ahol b egész szám), ekkor a2+2=25b2+2, és ez 5-tel osztva 2-t ad maradékul;
a=5b±1 esetén a2+2=25b2±10b+3, ez 5-tel osztva 3-at ad maradékul;
a=5b±2 esetén a2+2=25b2±20b+6, ez 5-tel osztva 1-et ad maradékul.
Végigvizsgáltunk minden lehetséges esetet, és azt találtuk, hogy a2+2 egyik esetben sem osztható 5-tel.