Feladat: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1960/október, 54 - 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Indirekt bizonyítási mód, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/október: 1960. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az állítás egyenlő szárú háromszögre nyilván igaz, hiszen a két egyenlő szög különbsége 0∘. Ezért feltehetjük, hogy a szokásos jelölésekkel

α>β>γ,(1)
és a feladat megszorításánál fogva
α<90∘.(2)
Az állítást indirekt úton bizonyítjuk. Feltesszük, hogy van olyan háromszög, amelyben
α-β≥30∘,(3)
és
β-γ≥30∘,(4)
és megmutatjuk, hogy ilyen háromszög nem lehet hegyesszögű. Valóban, (3) kétszeresét és (4)-et hozzáadva a szögekre érvényes
α+β+γ=180∘(5)
egyenlőséghez, azt kapjuk, hogy
3α≥270∘,azazα≥90∘.
Eszerint hegyesszögű háromszögre (3) és (4) egyidejűen nem teljesülhet, ezért legalább az egyik szögkülönbség kisebb 30∘-nál. Ezt kellett bizonyítanunk.
 
Megjegyzések: 1. Meggondolásunkat egyenlőtlenségekkel való műveletek nélkül is elmondhatjuk. Feltesszük, hogy van olyan pozitív δ és ε szög, hogy
β=α-(30∘+δ)(3')
és
γ=β-(30∘+ε).(4')
Előbb (4')-t, majd (3')-t (5)-be helyettesítve átalakítással az
α=90∘+2δ+ε3
összefüggésre jutunk, ami ellentmond (2)-nek.
2. Több efféle úton járó versenyző szükségtelenül feltette, hogy δ=ε, vagyis hogy α-β=β-γ. Az ilyen megoldások nem teljesek, hiszen csak egy további speciális feltételnek eleget tevő háromszögekkel foglalkoznak; még jobban látszik ez abból, hogy minden ilyen háromszögben β=60∘.
3. Többen ilyenféleképpen kezdték okoskodásukat: ,,legyen α csak egy kevéssel kisebb 90∘-nál, pl. 89∘59'''. Az ilyen feltevés ‐ még ha azt helyes okoskodás követi is ‐ eleve lemond a bizonyítás teljességéről, hiszen figyelmen kívül hagyja mindazokat a hegyesszögű háromszögeket, melyek legnagyobb szöge 90∘ és 89∘59' közé esik. Az idézett feltevés abból a hibás szemléletből ered, mintha létezne a 90∘-nál kisebb szögek között egy legnagyobb szög. Ilyen azonban nincs.
 
II. megoldás: Vizsgáljuk a háromszögnek nagyságra nézve középső szögét, azaz (1) szerint β-t. Ha ez legalább 60∘, akkor α-β<30∘; ha viszont β<60∘, akkor α+β<150∘, és így γ=180∘-(α+β)>30∘, tehát β-γ<30∘. A feladat állítása tehát mindkét esetben teljesül.