A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Próbálgatással könnyen kapjuk a következő felbontásokat:
Észrevesszük, hogy mindegyik különbség elsőnek írt felbontásában az első két négyzetszám alapja az a két szám, amelyek köbeinek különbségét éppen vizsgáljuk, a harmadik négyzetszám alapja pedig az előbbi kettőnek az összege. Ezek alapján azt sejtjük, hogy a vizsgálandó számokat és -vel jelölve bármely mellett fennáll | | (1) |
Sejtésünk bizonyítására a két oldali hatványokat kifejtve mindkét oldalon -at kapunk, tehát (1) helyes. Ha és vele egész szám, akkor összegük is az, tehát a jobb oldal mindhárom tagja négyzetszám. Evvel az állítást igazoltuk. Megjegyzések: 1. Kevesebb konkrét próbálgatást végzünk a következő meggondolásban, és nem lesz szükség bizonyításra. Nyilvánvaló, hogy a köbök különbségében -et változtatva a négyzetszámok alapjai is változnak, függnek -től. Tegyük fel, hogy van olyan felbontás, melyben az alapok -nek elsőfokú függvényei, vagyis ilyen alakúak: ahol , , , , , egész számok. Ezek négyzetösszege átrendezéssel | | (4) | Ha találunk olyan egész számokat, amelyekkel (4) egymás utáni együtthatói egyenlők a (2) jobb oldalán álló együtthatókkal: evvel igazoltuk az állítást, és a talált számokkal képezett (3) kifejezések minden -re adnak egy alapszám-hármast a kívánt négyzetösszegfelbontáshoz. (5) és (7) szerint az együtthatók négyzetei számára csak a -on, -on aluli négyzetszámok jönnek szóba: , és . Ezek közül vett három tagból a -os, -as összeg , ill. alakban kiadódik. Ennek alapján vehetjük egyrészt, hogy , , másrészt hogy, , , értékei valamely sorrendben a , , számok, és e sorrendet cserélgetve megvizsgálhatjuk, hogy teljesül-e (6). Mindjárt a , értékrendszerrel való próba eredményes, ezekkel a (3) kifejezések az (1) jobb oldalán álló alapokat adják. 2. Az (1) jobb oldalán álló alapszámok bármelyike helyett -szeresét véve ‐ vagyis pl. és előjelének egyidejű cseréjével ‐ csupán látszólag kapnánk újabb felbontást, hiszen így maguk a négyzetszámok ugyanazok maradnak. (Ilyenkor (5) és (7)-ben a négyzetek, és (6)-ban a szorzatok értéke változatlan.) Felvetődik azonban a kérdés: található-e a (3) együtthatói számára adódott számok sorrendjének, valamint pl. és egyikének előjelét megváltoztatva ‐ vagy másképpen ‐ az (1)-től lényegesen különböző felbontás? Nyilván sem (5)-ben, sem (7)-ben nem lehetséges más megfelelő előállítás. Továbbá, hogy az eddigi , értékeket felcserélve sem kapunk új felbontást, , -vel pedig a (6) bal oldalán álló kifejezés értéke kisebbnek adódik. Mindig az eddigi -nál kisebbnek adódik ez a kifejezés, vagy változatlan marad, ha bármelyik tagjának egyik tényezőjét ellentett jellel próbáljuk venni. Így tehát nem kapunk új felbontást. Nem jöhet szóba a (3)-beliek helyére elsőnél magasabb fokú kifejezés sem ‐ pl. egy vagy több másodfokú ‐, mert ilyenek négyzetében a legmagasabb fokú tag pozitív, és így összegük nem lehet , amint (2) jobb oldala kívánná. 3. Legutóbbi meggondolásunkat nem teszi feleslegessé az az észrevétel, hogy -ra csak a felbontást adtuk, és könnyű belátni, hogy más ilyen felbontás nincs. Gondolni kell ugyanis arra, hogy e felbontás , , alapszámait más (3) alakú kifejezések is kiadhatnák -vel. II. megoldás: Ismert azonosság szerint Innen az értéket figyelembe véve, alkalmas csoportosítással azonnal adódik, hogy
amit bizonyítanunk kellett. Megjegyzés: Pozitív esetére a bebizonyított azonosságnak geometriai jelentést adhatunk, ha (1)-et a következő alakban írjuk: | | (8) | Tekintsünk minden tagot egy-egy test térfogata mértékszámának. Így a köbök , ill. egységnyi élű kockák, a négyzetek pedig hat olyan egységnyi magasságú, négyzetes oszlop térfogatát jelentik, amelyeknek alapéle rendre , , ill. négy esetben egység.
Így (8) azt fejezi ki, hogy a nagyobb kocka térfogata egyenlő a további test térfogatának összegével. Ennél többet láthatunk be könnyen: a testből, mindegyiket tömörnek tekintve, hézagtalanul össze is lehet állítani egy a nagyobbal egybevágó kockát. Fektessük le evégett az ,,-térfogatú'' oszlopot, állítsuk rá az ,,''-kockát úgy, hogy a 4‐4 oldallapjuk síkjai egybeessenek, így egységnyi alapélű, magasságú oszlopot kapunk. Állítsuk köré egy oldallapjukon állva, négyzetlapjukkal egy-egy oldallapjához zárva a négy térfogatú oszlopot úgy, hogy egy-egy oldallapjuk a belső oszlop egy-egy oldallapjának síkjába essék, így egységnyi magas és alapélű oszlopot kapunk. Végül fektessük rá -re az térfogatú oszlopot úgy, hogy oldallapjaik síkjai egybeessenek. |