A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A keresett háromszög () alakját megszerkeszthetjük annak alapján, hogy a körülírt kör középpontja a feltételnek megfelelő háromszögekben a szimmetriatengely alap felőli negyedelő pontjával esik egybe. Ez így látható be: legyen az alap felezőpontja , a -ből húzott magasság (amely átmegy az szakasz felezőpontján) messe -t -ben, az -ből -re bocsátott merőleges talppontja legyen . Mivel az háromszögnek, pedig a háromszögnek középvonala, ezért . Az oldal felezőpontja tehát -t is felezi, így az -ben -re emelt merőleges, ‐ amelynek -gyel való metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja ‐ az derékszögű trapéz középvonala, s így felezi az szakaszt. Ezzel állításunkat igazoltuk. Ennek alapján a keresett háromszöghöz hasonlót úgy szerkeszthetünk, hogy tetszőlegesen felvesszük az magasságot, ezen megszerkesztjük az felező- és az negyedelő pontot. Az körül sugárral írt kör metszi ki az pontban -re állított merőlegesből a háromszög és csúcsát. Az háromszögnek a kívánt méretre nagyítását pl. úgy végezhetjük, hogy az adott sugárral megrajzoljuk a ,,hozzáírt'' kört, majd ehhez az háromszög oldalaival párhuzamos érintőket úgy szerkesztünk, hogy a kör a keletkezett háromszög alapját és szárainak meghosszabbítását érintse. Megjegyzés. Ehhez a szerkesztéshez jutunk az Euler-egyenes tulajdonságainak felhasználásával is, de lényegében erre vezet az is, ha felhasználjuk, hogy a magassági pontot az oldalakra tükrözve a tükörkép a körülírt körre esik. Ismeretes ugyanis, hogy a háromszög magassági pontja, súlypontja ‐ amely mindhárom súlyvonalnak az oldal felőli harmadolópontja ‐ és körülírt körének középpontja ebben a sorrendben egy egyenesen, a háromszög Euler-egyenesén van, ami egyenlő szárú háromszögnél egybeesik a szimmetriatengellyel, és . ‐ Második észrevételünk alapján pedig az szakasz felezőpontjának -re való tükörképét véve -ben a körülírt kör egy átmérőjét nyertük. II. megoldás: Gondoljuk a feladatot megoldottnak, és messe az -en átmenő, -vel párhozamos egyenes -t -ben. Ekkor az háromszögnek középvonala, így , másrészt merőleges -re. ‐ Ennek alapján a tetszőlegesen felvett alapon megszerkesztjük az felező és negyedelő pontot, mint átmérő fölé (Thalész-) félkört írunk, ebből az -ben -re emelt merőlegessel kimetsszük -et, végül -et -re tükrözve kapjuk a keresetthez hasonló háromszög hátralevő csúcsát. III. megoldás: Legyen egy tetszés szerinti egyenlő szárú háromszögben () a alap felezőpontja és az szakasz felezőpontja . Meg fogjuk mutatni, hogy a egyenes és az oldal metszéspontjából -re bocsátott merőleges talppontja az szakasz felőli harmadoló pontja, függetlenül a háromszög alakjától. ‐ Ezt tudva a keresett háromszög alakja megszerkeszthető. Egy egyenes egy pontjában merőlegest szerkesztünk, és megszerkesztjük -nek az felőli harmadoló pontját. Ekkor az összes olyan egyenlő szárú háromszögekben, amelyeknek alapja az a egyenesen van, az alap végpontjait felező pontjával összekötő egyeneseknek a szemközti oldallal való metszéspontja a -ben -re merőlegesen húzott egyenesen van.
Ennek kell azt a pontját kikeresnünk, amelyre és vagy azt, amelyre és merőlegesek, az ilyen pontokat pedig az szakasz mint átmérő fölé rajzolt (Thalész-) kör metszi ki -ből. Legyen a kör és az egyenes két metszéspontja és ; ezek -re szimmetrikusan helyezkednek el, így mindkettőt összekötve -val és az összekötő egyeneseket meghosszabbítva, amíg -t metszik (mondjuk -ben, ill. -ben) egyenlő szárú háromszöget kapunk. Ebben a -t -mel összekötő egyenes -t annak -vel való metszéspontjában, vagyis -ban metszi. Ez rajta van a Thalész-körön is, tehát az oldalra bocsátott magasság. Így valóban megszerkesztettük a keresett háromszög alakját ‐ amennyiben a pontra vonatkozó állításunk igaz. Ennek igazolására húzzunk -ből párhuzamost -vel, messe ez -t -ben. a háromszög középvonala, s így felezi a szakaszt. Másrészt és egyenlő, mert és háromszögek megfelelő oldalai, ezek pedig egybevágók, ugyanis és oldaluk egyenlő, -nél levő szögeik csúcsszögek, -nál és -nél levő szögeik pedig váltószögek. ‐ Ekkor azonban a szakasz harmadrésze, s így az és hasonló derékszögű háromszögekből (az -nél levő szögek csúcsszögek) nyerjük, hogy is harmadrésze -nek, tehát hatoda -nek. Így kétharmada és harmadrésze -nek, amint állítottuk. IV. megoldás. Számítás alapján egy olyan szerkesztést is megadhatunk, amelyben nem szükséges egy hasonló háromszög közbeiktatása. Jelöljük a háromszög alapját és magasságát -val, ill. -mel, az -val szemközti szögét -val. Legyen az alapot és a szárak meghosszabbítását érintő körnek középpontja (az magasság, egyben szögfelező meghosszabbításán), az egyenesen levő érintési pontja és sugara az adott . Messe a egyenes a egyenest az pontban és legyen . Ezt az hosszúságot fogjuk kiszámítani, majd megszerkeszteni.
Merőleges szárú hegyes szögekként és , ezért a és , valamint és derékszögű háromszögek hasonlók. A második és az első, ill. a negyedik és az első háromszögből a befogókra: E két aránypárból (egyenletből) -et kiküszöbölve is kiesik (ez úgy is végrehajtható, hogy a két aránypárt tagról tagra összeszorozzuk és egyszerűsítünk), így és között kapunk összefüggést: és innen . Ennek alapján szerkesztésünk a következő: a sugarú körhöz tetszés szerinti pontjában érintőt szerkesztünk, erre -től mindkét irányban felmérjük -t vagyis a befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogóját. A végpontokat a kör középpontjával összekötő egyenesek kimetszik a körből a szárak meghosszabbításainak érintési pontjait. Megjegyzések. 1. -t a félegyenesből alapján is kimetszhetjük (a és derékszögű háromszögek egybevágók). 2. Több versenyző lényegében a legutóbbi gondolatmenettel -t határozta meg: helyesen erre jutott: , ebből négyzetgyökvonással és trigonometriai táblázattal meghatározta a szöget, és azt szögmérővel felmérte. ‐ Ez az eljárás azonban nem tekinthető (euklidészi) szerkesztésnek. 3. A keresetthez hasonló egyenlő szárú háromszög akkor is megszerkeszthető, ha ‐ a feladattól eltérően ‐ az magasságpontnak felezés helyett valamely más, előírt arányban kell osztania az szakaszt. Megoldásaink megfelelő módosítással az előírás esetén is használhatók, kivéve az I. megoldást, amelyben lényegesen kihasználtuk, hogy (a hozzáfűzött megjegyzések azonban használhatók). A feladatnak minden (pozitív) értéke mellett egy és csakis egy megoldása van, és ez áll akkor is minden -re, ha -et meghosszabbításán kell kapnunk. |