Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1959/december, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha a kisebbik tényezőt $x$ -szel jelöljük, akkor a másik tényező $x + 6$ , és a követelmény szerint

\begin{matrix} x^{4} + {(x + 6)}^{4} = 272. \end{matrix}

(1)

Szimmetrikusabbá válik azonban egyenletünk, ha a tényezők számtani közepét választjuk ismeretlennek. Ezt

z

-vel jelölve a két tényező

z - 3

és

z + 3

, így

\begin{matrix} {(z - 3)}^{4} + {(z + 3)}^{4} = 272, \end{matrix}

és rendezve

z

páratlan kitevős hatványai kiesnek:

\begin{matrix} z^{4} + 54 z^{2} - 55 = 0, \end{matrix}

vagyis

z^{2}

-ben másodfokú egyenletre jutunk. Ennek gyökei

z_{1, 2}^{2} = 1

-ből

z_{1} = 1

és

z_{2} = - 1

, a másik,

z_{3, 4}^{2} = - 55

gyökből

z_{3}

és

z_{4}

-re nem kapunk valós értéket. A

z_{1}

gyökhöz tartozó tényezőpár

- 2

és

+ 4

, a

z_{2}

-höz tartozó

- 4

és

+ 2

, a szorzat mindkét esetben

- 8

, ez az egyetlen (valós) szám, amely feladatunk követelményeinek megfelelhet. Valóban

{(- 2)}^{4} + 4^{4} = {(- 4)}^{4} + 2^{4} = 272

II. megoldás: Jelöljük a keresett számot

n

-nel, a feladat szerinti tényezőit

x

-szel és

y

-nal. Ekkor, feltéve, hogy

x > y

\begin{matrix} x - y = 6, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x y = n, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} x^{4} - y^{4} = 272. \end{matrix}

(4)

Innen közvetlenül

n

-re is kaphatunk egyenletet, ha (3)-at és (4)-et

x (- y) = - n

x^{4} + {(- y)}^{4} = 272

alakban írva észrevesszük, hogy egyenleteink bal oldalán

x

és

- y

szimmetrikus függvényei állnak. Így (ugyanis várható, hogy a (2)-ből adódó

\begin{matrix} {[x + (- y)]}^{4} = 6^{4} = 1296 \end{matrix}

(5)

egyenlet bal oldalát, amely szintén szimmetrikus függvénye

x

és

- y

-nak, lehet úgy alakítani, hogy benne csak (2), (3) és (4) bal oldala szerepeljen. Valóban, kifejtés után

\begin{matrix} x^{4} - 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} + y^{4} - (x^{4} + y^{4}) - 4 {(x - y)}^{2} x y - 2 {(x y)}^{2} = 1296, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 272 - 4 \cdot 6^{2} n - 2 n^{2} = 1296, n^{2} + 72 n + 512 = 0, \end{matrix}

és innen

n_{1} = - 8, n_{2} = - 64

.
Minthogy azonban (2)-ről (5)-re áttérve nem ekvivalens átalakítást végeztünk, ki kell próbálnunk, hogy a kapott számok kielégítik-e a feladat feltételeit. Evégett meg kell határoznunk az

x

y

tényezőket is. Ezeket (2) és (3)-ból számíthatjuk ki.

n_{1}

-gyel ugyanarra a két tényezőpárra jutunk, mint az I. megoldásban,

n_{2}

-höz pedig nem tartozik (valós) tényezőpár, ezt tehát nem tekinthetjük megoldásnak.

Megjegyzés. A versenyzők többsége indokolatlanul feltételezte, hogy a tényezők egész számok, ezekre azután (1), ill. (4)-ben végzett próbálgatással rá is jutott. Volt, aki csak azt tételezte fel, hogy a tényezők racionálisak, és kimutatta, hogy (ebben az esetben) a tényezők egész számok, továbbá, hogy a feladat túlhatározott, amennyiben a (2) egyenlet felesleges, mert 272 csak egyféleképpen írható két egész szám negyedik hatványának összegeként. ‐ Ámde a feladat szerint sem a két tényezőnek, sem magának a keresett szorzatnak nem kell még racionálisnak sem lennie! Tekintsünk két ellenpéldát. (2) és (3)-at változatlanul hagyva legyen pl. a tényezők negyedik hatványainak összege a kitűzött feladattól eltérően:

x^{4} + y^{4} = 386

; ekkor az előzőhöz hasonló számítással

x = \sqrt[]{2} + 3, y = \sqrt[]{2} - 3

n = - 7

adódik, tehát a keresett szám racionális, de a tényezők irracionálisok. Ha pedig (2) és (3)-at ismét meghagyva

x^{4} + y^{4} = 200

, akkor

x = \sqrt[]{\sqrt[]{748} - 27} + 3

y = \sqrt[]{\sqrt[]{748} - 27} - 3

n = \sqrt[]{748} - 36

, tehát a tényezőkkel együtt a keresett szám is irracionális.