Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1959/november, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Nevezetes azonosságok, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (2) feltételi egyenlőség négyzete alkalmas rendezéssel így írható:

\begin{matrix} 1 = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} + 2 (\frac{x y}{a b} + \frac{y z}{b c} + \frac{z x}{c a}) = \\ = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} + \frac{2 x y z}{a b c} (\frac{c}{z} + \frac{a}{x} + \frac{b}{y}) . \end{matrix}

A második zárójelbeli kifejezésben ráismerünk (1) bal oldalára, amely

0

-val egyenlő. Ennek figyelembevételével kapott egyenlőségünk azonos (3)-mal, a bizonyítandó állítással.
Az (1) és (2) feltevéseknek csak úgy van értelmük, ha az

a

b

c

x

y

z

számok

0

-tól különbözők, így pedig az alkalmazott átalakítások megengedett azonos átalakítások voltak.
Megjegyzés. A látottaknál valamivel több ismeret felhasználásával az állítás így is bizonyítható.

x / a

y / b

z / c

-t

u

v

w

-vel jelölve ezek

0

-tól különböző valós számok, feltételeink szerint

\begin{matrix} u + v + w = 1, \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0, amiből v w + w u + u v = 0, \end{matrix}

(4)

és

u^{2} + v^{2} + w^{2}

-et kell meghatároznunk. (4) első és harmadik kifejezése együtthatóként szerepel a

T = (t - u) (t - v) (t - w)

kifejezésnek

t

hatványai szerint rendezett polinomalakjában, eszerint

u v w

-t

d

-vel jelölve

\begin{matrix} T = t^{3} - (u + v + w) t^{2} + (u v + v w + w u) t - u v w = t^{3} - t^{2} - d . \end{matrix}

(5)

Hozzuk most két módon polinomalakra a

T^{*} = (t^{2} - u^{2}) (t^{2} - v^{2}) (t^{2} - w^{2})

szorzatot. Egyrészt

\begin{matrix} T^{*} = (t - u) (t - v) (t - w) [- (- t - u) (- t - v) (- t - w)] = T T', \end{matrix}

ahol

T'

annak a kifejezésnek

(- 1)

-szerese, amely

T

-ből

t

-nek

- t

-vel való helyettesítésével áll elő; ennélfogva

T' = - [{(- t)}^{3} - {(- t)}^{2} - d] = t^{3} + t^{2} + d

, és így

T^{*} = (t^{3} - t^{2} - d) (t^{3} + t^{2} + d) = t^{6} - t^{4} - 2 d t^{2} - d^{2}

.
Másrészt az (5)-höz hasonló kifejtéssel

\begin{matrix} T^{*} = t^{6} - (u^{2} + v^{2} + w^{2}) t^{4} + (u^{2} v^{2} + v^{2} w^{2} + w^{2} u^{2}) t^{2} - u^{2} v^{2} w^{2} . \end{matrix}

A két polinomalakból az egyező fokú tagok együtthatóinak összehasonlításából kapjuk a bizonyítandó

\begin{matrix} (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} =) u^{2} + v^{2} + w^{2} = 1 \end{matrix}

egyenlőséget, továbbá leolvashatjuk az

\begin{matrix} (\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} + \frac{y^{2} z^{2}}{b^{2} c^{2}} + \frac{z^{2} x^{2}}{c^{2} a^{2}} =) u^{2} v^{2} + v^{2} w^{2} + w^{2} u^{2} = - 2 d = - u v w (= - 2 \frac{x y z}{a b c}) \end{matrix}

(6)

összefüggést is. Ebből az is látszik, hogy

u

v

w

közül kettő pozitiv és egy negatív kell hogy legyen. Ez valóban leolvasható a (4) feltételi egyenletekböl is: a második szerint nem lehet mindhárom egyező előjelű; ha pedig kettő, pl.

v

és

w

negatív, akkor az első egyenlet szerint mindkettő abszolút értéke kisebb, mint

u

-é, tehát

\frac{1}{u}

kisebb

| \frac{1}{v} |

és

| \frac{1}{w} |

-nél, így

\frac{1}{u} + \frac{1}{v}

negatív, és ez méginkább áll

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w}

-re.
A (6) azonosság közvetlenül is nyerhető a feltételi egyenletekből:

u^{2} v^{2} + v^{2} w^{2} + w^{2} u^{2} = {(u v + v w + w u)}^{2} - 2 u v w (u + v + w) = - 2 u v w