Kezdőlap


Feladat:	1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1959/november, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 1959. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan $a$ , $b$ , $c$ természetes számokból álló hármast kell keresnünk, amelyre

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} . \end{matrix}

(1)

Feltehetjük, hogy

a

a legkisebb,

c

a legnagyobb nevező a hármasban (egyenlőség persze nincs kizárva), vagyis

\begin{matrix} (0 <) a \leq b \leq c . \end{matrix}

(2)

Eszerint reciprok értékeik közül

1 / a

a legnagyobb és

1 / c

a legkisebb:

\begin{matrix} \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c} (> 0) . \end{matrix}

(3)

Tájékozódjunk

a

nagyságáról. Evégett (1) jobb oldalán a második és harmadik tagot (3) alapján előbb a nem kisebb

1 / a

-val, majd a biztosan kisebb

0

-val helyettesítjük; így olyan két egyismeretlenes egyenlőtlenséget kapunk, melyeknek

1 / a

a nagyobb, ill. a kisebb oldalán áll:

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}, innen a \leq \frac{24}{5} < 5, \\ \frac{5}{8} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a}, innen a > \frac{8}{5} > 1. \end{matrix}

Ezek szerint

a

-ra három lehetőség van:

a = 2

a = 3

, vagy

a = 4

.
1. Keressünk először

a = 4

-hez megfelelő

b

-t és

c

-t. (1)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} . \end{matrix}

(4)

A fenti meggondolás első felét

b

-re ismételve (3) alapján

\begin{matrix} \frac{3}{8} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}, tehát b \leq \frac{16}{3} (< 6) . \end{matrix}

Másrészt most (2) szerint

b

is legalább

4

, tehát

b = 4

, vagy

b = 5

. Ezekkel (4)-ből

c = 8

, ill.

c = 40 / 7

adódik, de az utóbbi nem egész szám. ‐ Eszerint

a = 4

mellett egy felbontást kapunk:

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} . \end{matrix}

(1)

2. Legyen most

a = 3

. Ekkor (1) így alakul

\begin{matrix} \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{5}{8} - \frac{1}{3} = \frac{7}{24}, \end{matrix}

(5)

innen a fentiekhez hasonlóan

\begin{matrix} \frac{7}{24} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}, tehát b \leq \frac{48}{7} < 7, \end{matrix}

eszerint most a

b = 3

4

5

és

6

lehetőségek jönnek szóba. A megfelelő

c

-értékek (5)-ből:

c = - 24

c = 24

c = 120 / 11

, ill.

c = 8

. Csak a második és a negyedik érték természetes szám, így két felbontást kapunk:

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{24} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} . \end{matrix}

(II, III)

3. Végül az

a = 2

esetben (1)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{5}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} . \end{matrix}

Itt alkalmas átalakítással közvetlenül áttekinthetjük az összes

b

c

értékpárokat. Távolítsuk el a törteket, gyűjtsünk minden tagot az egyenlet jobb oldalára, és igyekezzünk a kifejezést szorzattá alakítani:

\begin{matrix} 8 b + 8 c = b c, 0 = b c - 8 b - 8 c = (b - 8) (c - 8) - 64. \end{matrix}

Eszerint

64

-et kell minden lehető módon két egész tényezőre bontani. A tényezőkre (2) folytán

b - 8 \leq c - 8

, másrészt nem lehet a két tényező negatív, mert akkor a kisebbre

b - 8 \leq - 8

b \leq 0

adódnék. Így a lehetséges felbontások:

\begin{matrix} b - 8 & = 1, 2, 4, 8, \\ c - 8 & = 64,32,16,8, \end{matrix}

és ezekből a következő felbontások adódnak:

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \frac{1}{72} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} . & (IV‐VII) \end{matrix}

Mindezek szerint

5 / 8

-ra az előírt alakban a fenti hét (I)‐(VII) felbontás lehetséges.

Megjegyzés. Az

a = 3

esetben adódott

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{24} \end{matrix}

felbontás mutatja, hogy ha elejtjük a pozitívság követelményét, akkor a feladatnak több megoldása van. A fentihez hasonló gondolatmenettel további

6

ilyen felbontást találunk:

\begin{matrix} \frac{5}{8} = \frac{1}{1} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} - \frac{1}{56} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}; \\ \frac{5}{8} = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} - \frac{1}{24} = \frac{1}{1} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} . \end{matrix}