A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Olyan , , természetes számokból álló hármast kell keresnünk, amelyre Feltehetjük, hogy a legkisebb, a legnagyobb nevező a hármasban (egyenlőség persze nincs kizárva), vagyis Eszerint reciprok értékeik közül a legnagyobb és a legkisebb: Tájékozódjunk nagyságáról. Evégett (1) jobb oldalán a második és harmadik tagot (3) alapján előbb a nem kisebb -val, majd a biztosan kisebb -val helyettesítjük; így olyan két egyismeretlenes egyenlőtlenséget kapunk, melyeknek a nagyobb, ill. a kisebb oldalán áll:
Ezek szerint -ra három lehetőség van: , , vagy . 1. Keressünk először -hez megfelelő -t és -t. (1)-ből A fenti meggondolás első felét -re ismételve (3) alapján | | Másrészt most (2) szerint is legalább , tehát , vagy . Ezekkel (4)-ből , ill. adódik, de az utóbbi nem egész szám. ‐ Eszerint mellett egy felbontást kapunk: 2. Legyen most . Ekkor (1) így alakul innen a fentiekhez hasonlóan | | eszerint most a , , és lehetőségek jönnek szóba. A megfelelő -értékek (5)-ből: , , , ill. . Csak a második és a negyedik érték természetes szám, így két felbontást kapunk: | | (II, III) |
3. Végül az esetben (1)-ből Itt alkalmas átalakítással közvetlenül áttekinthetjük az összes , értékpárokat. Távolítsuk el a törteket, gyűjtsünk minden tagot az egyenlet jobb oldalára, és igyekezzünk a kifejezést szorzattá alakítani: | | Eszerint -et kell minden lehető módon két egész tényezőre bontani. A tényezőkre (2) folytán , másrészt nem lehet a két tényező negatív, mert akkor a kisebbre , adódnék. Így a lehetséges felbontások:
és ezekből a következő felbontások adódnak:
Mindezek szerint -ra az előírt alakban a fenti hét (I)‐(VII) felbontás lehetséges. Megjegyzés. Az esetben adódott felbontás mutatja, hogy ha elejtjük a pozitívság követelményét, akkor a feladatnak több megoldása van. A fentihez hasonló gondolatmenettel további ilyen felbontást találunk:
|