A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kérdéses felezőpontokat rendre , , -rel jelölve azt bizonyítjuk, hogy a háromszögnek és oldalai egyenlők és egymásból -os elforgatással állnak elő. Evégett a oldal felezőpontját segítségül véve megmutatjuk, hogy a háromszög -os forgatással áll elő a háromszögből.
A szakasz a szabályos háromszögnek középvonala, így a háromszög is szabályos, tehát a pont -ből az eredeti forgatással áll elő, és ; továbbá ugyanazon irányú -os forgatással keletkezik -ből, mint amelyikkel a -ből, vagyis amelyik forgatással -t az -ből képeztük. Hasonlóan a szakasz a háromszögnek középvonala, így fele a oldalnak, egyszersmind -nak is ‐ mert a háromszög szabályos ‐, tehát egyenlő -rel; továbbá -nek és -nek iránya ugyancsak az eredeti forgatással áll elő , azaz irányából. Ezek szerint a szög szárai a szög száraiból ugyanakkora és ugyanazon irányú forgatással állnak elő, tehát e két szög egyenlő. Egyenlők a és háromszögeknek e szögek megfelelő szárain fekvő oldalai is, így a két háromszög egybevágó, és egymáshoz képest valóban -kal vannak elfordulva. Ennélfogva harmadik megfelelő oldalpárjukra , és , amit bizonyítani akartunk. Megjegyzések. 1. Az ábra több más módon is kiegészíthető oly egybevágó háromszögekkel, amelyek segítségével a háromszög két oldalának egyenlősége bizonyítható. A versenyzők általában a fenti bizonyításénál bonyolultabb utakat követtek; alig volt két versenyző, aki egyformán bizonyított volna. Egyesek nem vették észre, hogy könnyű meghatározni a háromszög két oldalának szögét, ehelyett külön bizonyították be további két oldal egyenlőségét. 2. Az előbbi gondolatmenettel bizonyítható tételünknek következő általánosítása. Ha az háromszögnek a csúcsa körüli -os elforgatása után az , és szakaszokat tetszőleges, de ugyanazon arány szerint osztjuk (pl: mindegyiket harmadoljuk), az osztópontok szabályos háromszöget alkotnak. 3. Néhány versenyző észrevette bizonyítandó tételünk kapcsolatát a következő tétellel: ,,Az és ellentétes körüljárású szabályos háromszögek csúcsa közös. Bizonyítsuk be, hogy az , és szakaszok felezőpontjai szabályos háromszög csúcsai.'' ‐ A versenyfeladatban az háromszög -os elforgatása során keletkező és háromszögek csúcsa közös, és körüljárásuk ellentétes. Ábránk betűzését úgy átírva, hogy a közös csúcs jele , ill. helyett legyen, a többi csúcsé pedig , , és helyett rendre , , és , tüstént látjuk, hogy az idézett állítás éppen a háromszög szabályosságát mondja ki. 4. A feladatot felfoghatjuk úgy is, hogy az és egyező körüljárású szabályos háromszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok felezőpontjairól mutattuk meg, hogy újabb szabályos háromszöget alkotnak. Ebben a formában a feladat lényegesen általánosítható, amennyiben sem a közös csúcsnak, sem a háromszögek szabályos voltának nincs benne lényeges szerepe. Legyen és két hasonló, egyező körüljárású háromszög, ekkor az , , szakaszok , , felezőpontjai is az háromszöghöz hasonló és egyező körüljárású háromszöget alkotnak. Ez a tétel is könnyen bizonyítható komplex számok segítségével, de a versenyfeladat fenti bizonyításához hasonlóan is bizonyítható. Nevezzük az állításban szereplő háromszögeket a csúcsok indexezésének megfelelően , és háromszögnek. Összekötve -t az és csúccsal is, a keletkező szakaszok felezőpontja legyen és . Mivel ‐ amit a továbbiakban -gal fogunk jelölni ‐ -nek -ből felére kicsinyített képe, így elég és -ról megmutatni, hogy hasonlók és egyező körüljárásúak.
és mint az , ill. háromszög középvonala párhuzamos és egyirányú az , ill. szakasszal és fele akkora. Hasonlóan és mint a , ill. háromszög középvonala a , ill. szakasszal párhuzamos, egyező irányú és fele akkora. Így az háromszögben az -nál levő szög és -ben a -nál levő szög egyaránt annak a szögnek a kiegészítő szögével egyenlő, amellyel -el van forgatva -hoz képest, az ezeket a szögeket közrefogó oldalak aránya pedig (mindkétszer a fönti sorrendben véve) és megfelelő távolságainak arányával egyezik meg. Ebből következik, hogy az és háromszögek hasonlóak és egyező körüljárásúak. Ekkor azonban az -ből és a -ből egyező irányú és nagyságú elforgatással és ugyanolyan arányú nyújtással keletkezik, s így ugyanezzel az elforgatással és nyújtással keletkezik is -ból. Ezzel állításunkat igazoltuk. A bizonyítás könnyen láthatóan abban az esetben is érvényben marad, ha egyes szereplő háromszögek egyenesszakasszá fajulnak. Ez bekövetkezik akkor is, ha és szerepét a versenyfeladat és háromszögének adjuk át. Ekkor a ponttal esik egybe, -nak pedig a feladatmegoldás pontja felel meg. Lásd Reiman István: Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon, 48. feladat, 63. és 71. o. Tankönyvkiadó 1957, Középiskolai Szakköri Füzetek.Lásd ugyanott, 77. o. 9. Példa. |