A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: | | Mivel pozitív, ezért a jobb oldal minden tagja pozitív. Elhagyva az utolsó két tagot, a jobb oldal kisebbé válik: Innen mind a két oldalból köbgyököt vonva a bizonyítandó állításra jutunk. Meg kell még mutatnunk, hogy (2)-ről (1)-re következtetve nem követünk el hibát, vagyis a köbgyökvonás helyes bizonyítási lépés. Bizonyítjuk, hogy ha tetszés szerinti , számokra azaz akkor azaz Ugyanis (3) bal oldalát tényezőkre bontva nyerjük, hogy | | Mivel -nek az utolsó alakbeli szorzója pozitív, egyenlőtlenségünk helyes marad, ha avval osztjuk. Ezzel éppen a bizonyítandó (4) egyenlőtlenségre jutunk.
Megjegyzés. A kérdéses szorzó is lehet, ti. ha egyszerre fennáll és . Ezekből azonban ellentétbe jutunk feltevésünkkel, ugyanis és így .
II. megoldás: Akárhány , szám számtani közepén értjük az számot, mértani közepén pedig az számot. Általánosan is igaz a következő, esetére közismert egyenlőtlenség: Ha az , számok mindegyike pozitív, akkor a mértani közepük nem nagyobb, mint a számtani közepük. Egyenlőség akkor és csakis akkor áll fenn, ha . Legyen most , , , ekkor feltevésünknél fogva , és így a hivatkozott tétel alapján ami bizonyítandó volt.
Megjegyzések. Eszerint tételünk már -től kezdve fennáll, mert már ekkor teljesül , kivéve mégis az esetet, amikor a két oldal egyenlő. A bizonyítandó állítás más irányú általánosítása: Legyen , és , egész szám, ekkor Mind a két általánosításra rámutatott dolgozatában Bollobás Béla. Meg lehet mutatni, hogy a szóban forgó egyenlőtlenségnek az , számok tesznek eleget. Bizonyítását lásd pl. Kürschák ‐ Hajós ‐ Neukomm ‐ Surányi: Matematikai Versenytételek I. 111. o. |