A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A bizonyítandó állítás fennállásának szükséges és egyben elégséges feltétele, hogy az egyenlet diszkriminánsa legyen bármely értéke mellett. A diszkrimináns | | (1) | és ez -nek másodfokú függvénye. E függvény képe parabola, így elég azt bizonyítanunk, hegy e parabola minden pontja a abszcissza-tengely fölött, vagy a tengelyen helyezkedik el. Helyettesítésekkel nyerjük, hogy a parabola egyes pontjai valóban a -tengely fölött vannak, pl. esetén . Minthogy a parabola folytonos vonal, ezért, ha volna pontja a -tengely alatt is, akkor metszenie kellene a tengelyt, és az ilyen pontra volna. Ámde a egyenlet diszkriminánsa tehát a (2) egyenletnek nincs (valós) gyöke, és az (1) parabola valóban nem metszi a tengelyt, egészen a -tengely fölött helyezkedik el.
Megjegyzés. Nem lehet elfogadni (2) gyökeinek megvizsgálása helyett a parabola néhány pontjának ábrázolása után a szemléletre való hivatkozást. Számos versenyző így ,,bizonyított''.
II. megoldás: (1) átalakításával pusztán számviszonyok alapján is belátható, hogy a -nek minden értéke mellett nagyobb -nál: | | E kifejezés első tagja bármely értéke mellett pozitív, vagy , mert négyzet, a második tagja pozitív. Ezzel az állításnál valamivel többet bizonyítottunk be. Miután határozottan nagyobb -nál, az adott egyenletnek bármely (valós) értéke mellett két különböző (valós) gyöke van. |