A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A keresett szám egyes helyi értékű jegyeként csak -nál nagyobb jegyek jöhetnek szóba, mert különben a -mal nagyobb szám harmadik jegye legfeljebb lenne, vagyis nagyobb lenne harmadik jegyénél, első két jegye egyeznék -ével, tehát jegyeinek összege nem lehetne kisebb jegyeinek összegénél. Így utolsó jegye , , vagy , ezért ettől utolsó jegye a tízes összevonás folytán -tel tér el, vagyis -tel kisebb, az összevont tízest pedig tízeseihez adjuk hozzá. Aszerint, hogy ez a jegy -nél kisebb, vagy -cel egyenlő, a továbbiakra két eset adódik; a százas jegy csak az utóbbiban változik meg. Ha a tízes helyi értékű jegy -ben kisebb -nél, akkor -ben -gyel nagyobb, tehát jegyeinek összege csak -tal kisebb -énél. Ez a csökkenés jegyei összegének kétharmad része, tehát jegyeinek összege . ‐ Ha már most utolsó jegye , akkor első két jegyének összege , innen -re , és adódik, az utóbbi azonban nem valódi háromjegyű szám. Hasonlóan kapjuk ‐ utolsó jegynek -at, -et véve ‐ a , és számokat. tízes helyi értékű jegyét -nek véve tízes jegye -ből -nak, azaz -cel kisebbnek adódik, százas jegye pedig -gyel nagyobbnak ‐ hacsak nem százas jegye is . Ha százas jegye kisebb -nél, akkor százas jegye -gyel nagyobb, tehát jegyeinek összege -tal csökken és -gyel nő, azaz végeredményben -tel csökken. Ez azonban nem lehet egész szám két harmadrésze, s így a feladatnak ilyen megoldása nincs. ‐ Ha végül százas jegye is volna, akkor jegyeinek összege -tel csökkenne és ‐ az ezres helyi értékben ‐ -gyel nőne, tehát -gyel csökkenne. ‐ Ebből a jegyek összege lenne, ami lehetetlen, mert háromjegyű szám jegyeinek összege legfeljebb , ‐ tehát ilyen megoldás sincs. Ezek szerint feladatunknak csak a , és számok tehetnek eleget. Mindhárom meg is felel, mert a -mal nagyobb , , számban a jegyek összege , harmada a -nek.
Megjegyzések. 1. Sok versenyző próbálgatás útján találta meg a fenti számokat. Ezzel persze nem bizonyították, hogy csak ez a három megoldás van. ‐ Többen kellő indokolás nélkül kimondták, hegy a jegyek összege csak lehet, vagy hogy az utolsó jegy csak , , vagy lehet. Mindezek nem tekinthetők teljes értékű megoldásnak. 2. Tetszetősen indul, de sokkal több munkával vezet célhoz a következő gondolatmenet. Mivel jegyeinek összege harmada jegyei összegének, azért jegyeinek összege: , osztható -mal, és ezért ugyanez áll magára -re is. Így is osztható -mal, ezért ez áll -re is: , és így . Háromjegyű számban a jegyek összege legfeljebb , így , vagy , vagy . Könnyű belátni, hegy , az egyetlen jegyösszegű háromjegyű szám, nem megoldás, de az lehetőségnek vizsgálata hosszadalmas. Az feltevésből ‐ a fentihez hasonlóan ‐ könnyen adódik a három megoldás. |