A keresett $N$ szám egyes helyi értékű jegyeként csak $6$-nál nagyobb jegyek jöhetnek szóba, mert különben a $3$-mal nagyobb $N\text{'}$ szám harmadik jegye legfeljebb $9$ lenne, vagyis nagyobb lenne $N$ harmadik jegyénél, első két jegye egyeznék $N$-ével, tehát $N\text{'}$ jegyeinek összege nem lehetne kisebb $N$ jegyeinek összegénél.
Így $N$ utolsó jegye $7$, $8$, vagy $9$, ezért ettől $N\text{'}$ utolsó jegye a tízes összevonás folytán $+3-10=-7$-tel tér el, vagyis $7$-tel kisebb, az összevont $1$ tízest pedig $N$ tízeseihez adjuk hozzá. Aszerint, hogy ez a jegy $9$-nél kisebb, vagy $9$-cel egyenlő, a továbbiakra két eset adódik; a százas jegy csak az utóbbiban változik meg.
Ha a tízes helyi értékű jegy $N$-ben kisebb $9$-nél, akkor $N\text{'}$-ben $1$-gyel nagyobb, tehát $N\text{'}$ jegyeinek összege csak $7-1=6$-tal kisebb $N$-énél. Ez a csökkenés $N$ jegyei összegének kétharmad része, tehát $N$ jegyeinek összege $9$. ‐ Ha már most $N$ utolsó jegye $7$, akkor első két jegyének összege $2$, innen $N$-re $207$, $117$ és $027$ adódik, az utóbbi azonban nem valódi háromjegyű szám. Hasonlóan kapjuk ‐ utolsó jegynek $8$-at, $9$-et véve ‐ a $108$, $018$ és $009$ számokat.
$N$ tízes helyi értékű jegyét $9$-nek véve $N\text{'}$ tízes jegye $9+1=10$-ből $0$-nak, azaz $9$-cel kisebbnek adódik, százas jegye pedig $1$-gyel nagyobbnak ‐ hacsak nem $N$ százas jegye is $9$. Ha $N$ százas jegye kisebb $9$-nél, akkor $N\text{'}$ százas jegye $1$-gyel nagyobb, tehát $N\text{'}$ jegyeinek összege $7+9=16$-tal csökken és $1$-gyel nő, azaz végeredményben $15$-tel csökken. Ez azonban nem lehet egész szám két harmadrésze, s így a feladatnak ilyen megoldása nincs. ‐ Ha végül $N$ százas jegye is $9$ volna, akkor $N\text{'}$ jegyeinek összege $7+9+9=25$-tel csökkenne és ‐ az ezres helyi értékben ‐ $1$-gyel nőne, tehát $24$-gyel csökkenne. ‐ Ebből a jegyek összege $36$ lenne, ami lehetetlen, mert háromjegyű szám jegyeinek összege legfeljebb $3\cdot 9=27$, ‐ tehát ilyen megoldás sincs.
Ezek szerint feladatunknak csak a $207$, $117$ és $108$ számok tehetnek eleget. Mindhárom meg is felel, mert a $3$-mal nagyobb $210$, $120$, $111$ számban a jegyek összege $3$, harmada a $9$-nek.