A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Vonjuk ki az adott számok összegéből, -ból, a készítendő csoportok összegének eltérését, -et. A maradékot, -et két egyenlő részre osztva kapnók a kisebb összegű csoport összegét. De máris látjuk, hogy a kívánt felosztás lehetetlen, mert páratlan, a fele nem egész, adott számaink viszont valamennyien egészek.
Megjegyzések. 1. Lényegében ugyanígy bizonyították a kívánt felosztás lehetetlenségét azok is, akik a kisebb összegű csoportban szereplő számok összegét -szel jelölve ‐ így a másik csoport összege ‐ az egyenletről mutatták meg, hogy megoldása tört szám. 2. Több versenyző úgy vélte megoldani a feladatot, hogy elhagyta az adott számok között szereplő -et, és azt mutatta meg, hogy a fennmaradt számok nem oszthatók két egyenlő összegű csoportba. Bármennyire hasonlít is ez a gondolat a fenti megoldáshoz, ‐ mégsem azonos vele, és nem teljes bizonyítás. Ebből csak azt látjuk, hogy olyan megoldása nincs a feladatnak, melyben a -es a nagyobb összegű csoportba tartozik. Olyan megoldás viszont még nem lehetetlen, amelyben a -es a kisebb összegű csoport tagja. Ha pl. az adottak helyett a , , , , , , , , , számokat kellene ugyanazon követelmény mellett két csoportba osztani, ez lehetséges: a kisebb összegű csoportban egyedül a -es áll, a másikban a -esek, bár ‐ mint könnyű belátni ‐ a -es itt sem lehet a nagyobb összegű csoportnak tagja. 3. Általában: adott egész számokat nem lehet úgy két csoportra osztani, hogy a csoportok összegének eltérése adott egész szám legyen, ha a számok összegéből az előírt eltérést levonva páratlan számot kapunk. De ha így páros szám adódik, ebből még nem következik, hogy a kívánt csoportosítás lehetséges. Pl. a , , , , , , számcsoport nem osztható ketté követelményünk szerint, bár összegüknek és az eltérésnek különbsége osztható -vel: . 4. Megállapításunk több csoportra a következőképpen általánosítható. Adott egész számok számú, adott, egész eltérésű csoportra való felbonthatóságának szükséges ‐ de, mint láttuk, nem elegendő ‐ feltétele az, hogy a számok összegéből az eltérések összegét levonva -val osztható számot kapjunk. (Ez az összeg úgy értendő, hogy valamennyi csoport összegének egy bizonyos, kijelölt számcsoport összegétől való eltéréseit vesszük, előjelükkel együtt.)
II. megoldás: A feladat ezt kívánja: alkossunk a felsorolt egész számokból olyan két csoportot, hogy a bennük levő számok összegének különbsége legyen, a két összeg összeadva pedig -ot adjon. Ez lehetetlen, mert ha két egész szám különbsége páratlan, akkor a két szám ellentétes párosságú, és ezért összegük is páratlan. |