A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A keresett négyzetszámot -tel jelölve feltehetjük, hogy pozitív egész, mert egy számnak és a negatívjának ugyanaz a négyzete. Mivel hatjegyű, így Az utolsó két jegyéből alakított számot -val jelölve, a feladat feltételei szerint | |
Itt törzstényezős felbontása s így az utolsó tagot fejezve ki a nyert egyenletből | | (1) |
Tudjuk, hogy egy szorzat csak úgy lehet osztható egy törzsszámmal, ha már valamelyik tényező is osztható a törzsszámmal. Ezt az -re alkalmazva az első tényezőre s így csak akkor lehet -gyel osztható, ha -mal egyenlő; a második tényező pedig csak úgy, ha -gyel egyenlő. Az első esetben kielégíti a feladat feltételeit, a második esetben , nem osztható -cel, s így (1) nem teljesülhet. A feladatnak tehát egy megoldása van, a (2) alatti.
Megjegyzés: Néhányan a négyzetszám első két jegyéből álló számból indultak ki. Az erre nyerhető egyenletből legfeljebb akkor sikerül további következtetéseket levonni, ha észreveszi valaki, hogy egy négyzetszám és egy -gyel osztható szám összegére bontható: s így | |
Ez az észrevétel azt mutatja, hogy néha még a jelölések szerencsés megválasztása is lényeges lehet egy feladat megoldásában. Többen abból indultak ki, hogy mik fordulhatnak elő négyzetszám utolsó két jegyeként, de szintén nem jutottak eredményre. Kétségtelenül hosszadalmasabb ez az út a fenti megoldásnál, de járható, mint a következő megoldás mutatja:
II. megoldás: Egy szám négyzetének utolsó két jegye csak a szám utolsó két jegyétől függ, más szóval, ha két szám -zal osztható számban különbözik, akkor a négyzetük is, mert | | Elég tehát a -tól -ig terjedő számok utolsó két jegyét vizsgálni. De már a -tól -ig tartó számok végződése is kiad minden végződést, -en fölül csak ismétlődnek sorra ugyanazok a végződések, mert | | sőt már -ig is párosan fordulnak elő a végződések: a -re szimmetrikusan elhelyezkedő számok négyzetének utolsó két jegye megegyezik. Valóban egy számmal a -re nézve szimmetrikusan az szám helyezkedik el és | |
A négyzetszámok lehetséges végződéseit (utolsó két jegyét) tehát megkapjuk, ha -tól -ig nézzük meg a számok négyzetének utolsó két jegyét. Így a következő végződések adódnak: | | Ezek mindegyikéhez elkészíthetjük a feladatban leírt számot és négyzetgyök-vonással eldönthetjük, hogy az négyzetszám-e vagy sem. Valamivel azonban még megkönnyíthetjük a számolást: Egy páros szám négyzetének páros hatványával, egy -mal osztható szám négyzetének páros hatványával kell oszthatónak lennie. Ismeretes, hogy minden páratlan szám négyzete alakú. Könnyen belátható, hogy -mal nem osztható szám négyzete mindig alakú, tehát négyzetszám alakú nem lehet és hasonló megszorításokat megállapíthatunk más prímszámokkal kapcsolatban is. A felsorolt végződések elsője és utolsója elesik, mert azokhoz képezve a feladat kikötéseit teljesítő számot nem -jegyű számhoz jutunk. A -hez, -hez, -höz, -hez, -hez, -hez és -hez tartozó számok -cal osztva -öt adnak maradékul és így nem lehetnek négyzetszámok, a -hez és -hoz tartozó pedig azért nem, mert -cal osztható, de -tal nem. A -mal, illetőleg -cel való oszthatóságot nézve a -hez, a -hoz, -hez és a -hoz tartozó számok -mal osztva -t adnak maradékul, a -hez és a -hez tartozó szám pedig osztható -mal, de -cel nem, tehát ezek sem négyzetszámok. A maradó számok közül a -hez tartozó osztható -gyel, de -gyel nem, a -hoz tartozó pedig osztható -tel, de -cel nem. A maradó három számból (a -hez, -hez és -hez tartozóból) négyzetgyököt vonva ezúton is azt találjuk, hogy a szám az egyetlen, amelyik megfelel a feladat feltételeinek.
|