Feladat: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1958/november, 73 - 74. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani helyek, Pont körüli forgatás, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A PQ szakasz fölé két szabályos háromszög írható, amelyeknek PQ közös oldala. Ha egy szabályos háromszög egy csúcsa körül az egyik oldalát megfelelő irányban 60∘-kal elfordítjuk, akkor ez a csúcsból induló másik oldalt fedi. Ha az utóbbi oldalt akarjuk az előbbivel fedésbe hozni, ezt az első forgatással ellentétes irányú 60∘-os elforgatással érhetjük el.

 

 

Legyen a PQ szakasz fölé rajzolható két szabályos háromszög PQR1 és PQR2 a betűzést úgy választva, hogy QP-t QR1-be pozitív (az óramutató járásával ellentétes), QR2-be pedig negatív irányban lehessen 60∘-os elforgatással beleforgatni.
 

 

Ekkor az R1 pontok is, az R2 pontok is egy-egy ABCD-vel egybevágó négyzetet, A1B1C1D1-et, ill. A2B2C2D2-t fogják befutni egyszer, míg P végigfut az ABCD négyzeten. Ez a két négyzet úgy keletkezik az adottból, hogy ezt Q körül 60∘-kal elforgatjuk pozitív, illetőleg negatív irányban.
Valóban, az ABCD négyzet bármely P pontját Q körül 60∘-kal elforgatva pozitív irányban egyrészt az A1B1C1D1 négyzet egy R1 pontját kapjuk, másrészt viszont R1 az elmondottak szerint a PQ-ra rajzolható szabályos háromszög egyik csúcsa. Fordítva, ha az A1B1C1D1 négyzet egy R1 pontját forgatjuk el Q körül negatív irányban 60∘-kal, akkor egyrészt az ABCD négyzet egy P pontjába jutunk vissza, másrészt PQR1 olyan szabályos háromszög, amelyben a QP oldal Q körül pozitív irányú 60∘-os elforgatással hozható QR1-gyel fedésbe. Ugyanez áll pozitív és negatív forgatás felcserélésével az A2B2C2D2 négyzetre vonatkozóan is. Ezzel állításunkat igazoltuk.
 

Megjegyzések: 1. Az ABCD négyzet semmilyen tulajdonsága nem szerepelt meggondolásainkban, így bármilyen síkidom pontjain is futtatjuk végig P-t, a feladatban leírt eljárással a síkidomnak Q körül pozitív és negatív irányban 60‐60∘-kal elforgatott képét kapjuk mértani helyül.
 

2. Meggondolásaink abban az esetben is érvényesek, ha Q a négyzet (illetőleg az adott síkidom) egy pontja, kivéve ha P egybeesik Q-val, amikor szabályos háromszög nem alkotható. Ez esetben célszerű ,,elfajult szabályos háromszög"-nek tekinteni egy pontot (mely a háromszög három egybeeső csúcsa).