Kezdőlap


Feladat:	1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1958/november, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 2. forduló kezdők (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt mondjuk, hogy egy $c$ egész szám többszöröse egy $d$ egész számnak (vagy, hogy $c$ osztható $d$ -vel, vagy $d$ osztója $c$ -nek), ha van olyan $q$ egész szám, amelyre $c = d q$ . Oszthatósági kérdésekben célszerű lehet pozitív osztókra szorítkozni, vagyis $d$ -ről, vagy esetleg a definícióban szereplő mindegyik számról feltenni, hogy természetes szám, máskor viszont éppen fordítva, célszerű minden egész számot megengedni.
Azt a kérdést kell tehát megvizsgálni, hogy milyen $a$ egész számokhoz, illetőleg pozitív egész számokhoz van olyan $k$ egész szám, amelyre teljesül a

\begin{matrix} 97 a^{2} + 84 a - 55 = k a \end{matrix}

(1)

egyenlőség. Az

a

-t tartalmazó tagokat egy oldalra rendezve és

a

-t kiemelve

\begin{matrix} (97 a + 84 - k) a = 55. \end{matrix}

Ezek szerint

55

-öt kell két pozitív egész, ill. két egész tényező szorzatává alakítani. Pozitív egész tényezős felbontások

1 \cdot 55

5 \cdot 11

, továbbá a tényezők felcserélésével keletkező felbontások, a további egész felbontások pedig úgy keletkeznek, hogy a pozitív felbontások mindkét tényezőjének negatívját vesszük. Így a következő pozitív egész

a

értékek felelnek meg:

1

5

11

55

, az összes egész értékeket tekintve pedig ezekhez negatívjaik:

- 1

- 5

- 11

- 55

járulnak.

Megjegyzés: Bollobás Béla felvetette azt az általánosabb kérdést is, hogy

a

-ról nem tételezve fel, hogy egész, milyen

a

értékekre lesz a szóban forgó kifejezés

a

-nak egész számszorosa, vagyis milyen (nem feltétlenül egész)

a

számokra áll fenn (1) egész

k

-val. A feladat fogalmazása ezt az értelmezést is megengedi, ez a kérdés azonban már nem tárgyalható a fenti módon. A kérdés most az, hogy milyen

a

-kra teljesül egész

k

-val a

\begin{matrix} 97 a^{2} + (84 - k) a - 55 = 0 \end{matrix}

(2)

egyenlet. Itt

k

akkor és csak akkor egész, ha a

84 - k = l

szám egész. Ezt a jelölést bevezetve az

\begin{matrix} a = \frac{- l \pm \sqrt[]{l^{2} + 21340}}{194}, (l = 0, \pm 1, \pm 2, ...) \end{matrix}

számok és csak ezek felelnek meg a felvetett követelményeknek.