Feladat: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1958/október, 45 - 46. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 1958. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az ABDE trapéz egyenlő szárú, mert átlói egyenlők. Tehát az egyíves szögek egyenlők. Hasonló ok miatt a kétíves szögek is egyenlők, éppígy a háromívesek is (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

CDEF négyszög húrnégyszög, mert a szemközti szögeinek összege egyenlő (mindkét szemközti szögpár egy egyíves, egy kétíves és egy háromíves szögből tevődik össze). Azonban e húrnégyszög körén van a B pont is, mivel EBC∢=EFC∢. Az A pont szintén ezen a körön van, mivel FAD∢=FCD∢.
 

Megjegyzés: Több versenyző állította, hogy az ABDE, BCEF és CDFA húrnégyszögek két-két csúcsa közös lévén, ebből máris következik, hogy a köré írt körük is egybeesik. Ez nem igaz.
 

II. megoldás: ABDE egyenlőszárú trapéz, ezért a párhuzamos oldalak felező merőlegese közös, átmegy a két átló metszéspontján és egyenlő szöget zár be a két átlóval. Eszerint a hatszög szemközti oldalainak felező merőlegesei egyben az átlók alkotta háromszög szögfelezői, tehát egy pontban metszik egymást. Ez a pont egyenlő távolságra van a hatszög bármely négy szomszédos pontjától (mint a három felező merőleges metszéspontja), így tehát egyenlő távolságra van mind a hat csúcstól. Eszerint a hatszög köré kör írható, és a kör középpontja az egyenlő átlók alkotta háromszög szögfelezőinek metszéspontja.
 

Megjegyzés. 1. Tételünk hurkolt hatszögre is fennáll (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Hurkolt hatszög esetében a hatszög köré írható kör középpontja az egyenlő átlók alkotta háromszög két külső és egy belső szögfelezőjének metszéspontja (tehát a háromszög egyik hozzáírt körének középpontja).
Számos versenyző hibásan úgy vélte, hogy a feladat követelményeinek csak oly hatszög felelhet meg, amelynek átlói egy pontban metszik egymást, sőt egyesek szerint a hatszög csak szabályos lehet.